Nous venons de passer en revue un assez grand

nombre de systèmes de coordonnées, dont quelques-uns ne sont presque jamais employés, et nous avons reconnu que, dans tous les cas, le problème des tangentes était ramené à la recherche de la limite du rapport, de deux quantités infiniment petites. Le nombre des systèmes que l'on pourrait employer pour la détermination des. points sur un plan est illimité, et, par les cas variés que nous avons considérés, nous avons voulu faciliter les recherches auxquelles d’autres cas peuvent donner lieu. On cherchera toujours à ramener la direction de la sécante à dépendre d’infiniment peuts quelconques, dont il soit possible de calculer la limite du rapport, soit que les points du lieu soient déterminés par une équation, soit qu'on connaisse la loi de leur génération sans en avoir déduit l'équation entre les coordonnées.

Mais, avant d'aller plus loïn, il est à propos de s’assurer que le problème dont nous nous occupons a généralement une solution; c'est-à-dire qu’en tout point d’une courbe déterminée par une équation, ou par une loi de construction qui pourrait conduire à une équation entre des coordonnées de nature quelconque, il existe une tangente. En d’autres termes, il faut démontrer que lorsque deux variables dépendent l’une de l’autre, le rapport des accroissements infiniment petits correspondants de ces variables a en général une limite; car c’est à ce problème de calcul que nous avons ramené le problème géométrique. |

Cette proposition importante peut être établie simplement, de la manière suivante. |

Théorème général.

69. Soit y une fonction quelconque d’une variable x; assujettie seulement aux conditions suivantes : 1° que, lorsqu'à partir d’une valeur quelconque on donne un

CO. - Om

accroissement À à x, il en résulte un accroissement unique À de y, qui tende vers zéro, si l'on fait tendre vers zéro; 2° qu'à partir de toute valeur de x on en puisse prendre une autre qui en diffère d’une quantité finie détérminée, telle que si x varie dans le même sens dans tout l'intervalle compris entre elles, y varie constamment dans un même sens, c’est-à-dire toujours en augmentant ou toujours en diminuant.

Cela posé, il est facile de démontrer que, sous ces condiions, pour toute valeur de x il existe une limite finie pour le rapport des accroïssements infiniment petits correspondants L et £; c’est-à-dire qu'il ne peut y avoir que des valeurs exceptionnelles de x pour lesquelles ce rapport croiïsse ou décroisse indéfiniment.

En effet, soient x,, X deux valeurs de x satisfaisant aux conditions ci-dessus indiquées; y, YŸ les valeurs correspondantes de y; partageons l'intervalle X — x, en # parties égales, que nous désignerons par k, et soient A1, &:. k3,..., k, les valeurs correspondantes des accroissements positifs de y, on aura

DT — 71h, Y—m=ñki+k,..., kn3

d'où résulte

c’est-à-dire que le rapport invariable des accroissements finis de x et de y, quand on passe de x, à X, est la . pire { ko kn

moyenne arithmétique des rapports A A A Ir ( in quel que soit le nombre entier 7.

Si maintenant on fait croître n indéfiniment, les termes de ces rapports tendront vers zéro, et leur

moyenne arithmétique étant toujours égale à la quan-

. ue "4 es 4 Yo . | x Q LR ) uité finie ne il est impossible qu’ils tendent tous — Ty , >. . . same

vers zéro, ou qu'ils croissent tous indéfiniment.

Cetie conclusion, relative à l’intervalle X — x,, pouvant être appliquée à toute partie de cet intervalle, il s'ensuit qu'il est impossible que, dans aucun intervalle

fini , la valeur de ñ tende vers zéro ou croisse indéfiniè

ment pour toutes les valeurs de x. Ce n’est donc que pour des valeurs exceptionnelles et en nombre limité

; k L] LI que + peut ne pas avoir une valeur finie: ce que nous

voulions établir.

70. Nous avons supposé dans ce raisonnement que Y pr eee Vo X — x à cette condition, voyons s’il est possible que toutes les

avait une valeur finie. En ne s'assujettissant pas

# T4 L] L] HE L2 valeurs de 5 tendent vers zéro ou croissent indéfini- :

ment. |

Si tous les rapports tendent vers zéro, leur moyenne y tendra nécessairement, et comme elle est constante, elle ne peut être que zéro; done Ÿ — y, = 0 ou Y = 74. Et comme il en sera de même si l’on considère l’intervalle entre x, et toute autre valeur choisie entre x, et X, il en résulte que toutes les valeurs de y correspondantes aux valeurs de x comprises entre x, et X sont égales à yo. La fonction désignée par y ne serait donc autre chose qu'une constante, et l’on voit alors que non-seulement | tendra vers zéro, mais quil sera toujours rigoureusement nul. Le lieu en question serait donc une droite parallèle à l'axe des x, si x et y sont des coordonnées reculignes.

) URSS

Si maintenant tous les rapports 7 Croissaient sans l- ( é 7. l L

mites, les rapports réciproques ; tendraient tous vers

; 1 5 1 OI Ilèle à l zéro, et Le lieu représenterait une droite parallèle à l’axe

h x à des y ; auquel cas tous les rapports 7 seraient rigou-

cure k reusement nuls, et l’on dirait que les rapports 7 Sont

tous infinis.

Si donc le lieu ne renferme aucune portion de ligne droite parallèle à l’un des axes, il y aura une limite finie pour le rapport des accroïssements infiniment petits correspondants 2, k, à l'exception peut-être de certaines valeurs particulières de x ;*et par conséquent en tous les points d'une courbe il existe en général une tangente.

: | PAC U ; Les cas exceptionnels où la limite de 7 serait nulle (4 ou infinie correspondraient, dans un système de coordonnées rectilignes, aux points où les tangentes seraient

parallèles à l’un ou à l’autre des axes; cela résulte de la

. 0 . ,» ’ . . . À signification géométrique de la limite de 7 dans un /

pareil système, Dérivées des fonctions.

NES k As.