Supposons généralement que la différence Ax

soit une fonction déterminée f(x),-et soient

LC Lis = Lis Lure y “Lm13, Lmy : UC.)

les valeurs successives qui en résultent pour la variable 23 de telle sorte que l’on ait

&; —= x + Ax, LL = XL + AT, LI La Ali s Tn= Tri + A Tm1 y

équations qui pourront encore s’écrire de la manière sui-

ANRT * M RU ARE PO DD nt ve Ds crie Té. #ù ve 204 «oh no ne LA EAN Ve HUE “A vanie : de

DA EN TL, de DT,

MA AE —- A x + 4, F

T3 4 + AX + Ar + A,

Li LH AR €ht Ari: SSSR La C0 A0: hs ADP SN OMS

Toutes ces expressions peuvent être considérées comme | dépendant uniquement de la première valeur arbitraire Fo SL car Ax étant une fonction de x, x, où x + Ax l est de ca même. Ax; ou f(x) est donc aussi fonction de x seulement, et par suite aussi X°, qui estégal à x + Ax + A : De même, Ax, ou f( L2) sera fonction de x seulement, et par suite aussi %,3 et ainsi des autres indéfiniment.

Il est encore utile d'observer que chacune de ces va. leurs successives peut se former de la précédente, en changeant x en x + Ax. En effet, supposons qu'il e soit ainsi jusqu'à x,, inclusivement, et changeons Li

x + A x dans x,,., : Son premier terme x devient x +Ax; :

son second terme Ax devient Ax,; son troisième À x, de- à vient Ax,, et enfin son dernier devient AVE ; par con- | séquent, x,, se trouvera changé en x, La propésition $. est donc générale, puisqu'elle est vraie pour 31. Si main=« tenant on considère une fonction FORTE LES 9 (x) et que l’on désigne par” mt.

ü, is Us Us ; » 3 Uni 5 Umy es 3- é 1480

les valeurs correspondantes à x,%,,..., 2%, chacune d | ces valeurs successives de u pourra être considérée comme» fonction de x seulement, et se déduira de la précédent À en y changeant x en x + Ax; car, portes l'on à ge | ralement | |

ns = ? (ænES) ] Um ss ? (æa) ;

| Me INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, 200 *

… et que x,, ne dépend que de x, et s'obtient en changeant “ x en x + Azx dans x, :, v,, sera aussi fonction de x seul, et se déduira évidemment de w,,., par ce même change-

ment.

210. D'après la définition que nous avons donnée des différences successives, la seconde différence A°?u sera . Paccroïssement que prendra Au quand on y changera x en x + Ax; la troisième différence Au sera l’accroissement de À? u résultant du même accroissement Ax que Von y fera subir à x; et ainsi de suite.

De même, Au, étant l'accroissement de u, relatif à l’ac- (M croissement À x, donné à x, A,u, sera l’accroissement-de Au; quand on y fera croître x, de A x, ; et de même pour les différences suivantes. On voit donc que les différences successives deu, seront les mêmes fonctions de x, que celles de w le sont de x; et il en sera de même pour les différences de w,, u,,..., u,, etc. [l-résulte de là que toutes les différences de uw, s’obüendraient en changeant x, en x, dans les différences correspondantes de 4, à ; et, comme on a vu que ce changement s'opère en substituant x+ Ax à x lorsque l’on considère x,, comme exprimé en fonction de x, il s'ensuit que les différences d'un mème ordre quelconque des quantités

u, LCA , U, #1 2 Um: , Un o

se déduisent chacune de la précédente, en y changeant x eu x + AZ. On observera encore que, pour obtenir À'u,,

c’est-a-dire l'accroissement de Alu, dans lequel on

change x, en x, + Ax,, il suflit de prendre l’accroisse-

ment que prend A"! «, considéré comme fonction de x, dans lequel on changera x en x + Ax.

Ces propriétés appartiennent aux différences succes-

… sives de x, comme à celles de la fonction quelconque w.

2008, LIVRE IV. ver 211. Il est facile d'exprimer la différence Au au moyen

des m+ 1 valeurs u, u,, u:,..., u.

En effet, on a d’abord

AU u, — üu. "

Pour obtenir A°u, il faut, dans l'expression de Au, chan- = ger x en x + Ax, et prendre l'accroissement résultant. Cette substitution changeant respectivement z, et u en uw; et u3, on trouvera

Au—= U —2U, +.

De même Au sera l'accroissement de l’expression de Au, dans laquelle on changera x en-x+ Ax, et l'on aura

Au u — Su 30 4x.

On voit jusqu'ici que les indices de u décroissent d'une unité, depuis l’ordre de la différence jusqu’à zéro; que les. coeflicients sont alternativement positifs et négatifs, et M sont égaux à ceux de la puissance de même ordre d’un binôme. Or, la manière dont on passe d’une différence à | la suivante prouve que cette loi est générale.

. En effet, si l'ona i

A? & purs Un F2 À, Un; er A: Un3 a,

LUE A) Un p LES Ap+ Un p— Lie ?

la différence suivante sera

AMT'u = Unss — À, | uy + A;

Uni urnes 0 Lt — Àp+ Unp tie +4 |

+ Ag

La loi des indices de w est donc la même pour cette différence, et les coeflicients se forment de ceux de la pré | cédente, en ajoutant, en valeur absolue, chacun d'eux à celui qui le précède : donc, si, pour une différence, ces coefficients sont ceux de la puissance du même ordre d'un

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 297 binôme, tel que « — 6, ils seront soumis à la même loi pour la différence suivante. Donc cette loi est générale, puisqu'elle a été reconnue pour la seconde différence.

On a donc, quel que soit m,

(1) Au = Un — Müm- + AL RS À Men 7

; … lé dernier terme sera positif si m est pair, et négatif dans le cas contraire.

212. Réciproquement, on peut exprimer z,, au moyen de u et des m différences Au, A°u,..., Au. En effet, on a

WM=u+ûu,; :u.=u +2 Au + Au,..……, et comme on a, en général, Un = Uni + AU, on voit que, si l’on a Un = u HA, Au + A,Au +...

+ A, Wu+A,,,APFlu +..., on aura "

Aus. ; + Apyi l'API,

Du LA, | Au + À; + A;

Donc, si les coeflicients des termes de u, sont ceux du développement de (x + 6)"-1, les coefficients des termes de u, seront ceux de (x + 6)": quant aux indices des différences , ils croitront de même depuis o jusqu’à ». Or ces lois ont lieu pour z,, donc elles sont générales, . et l’on a

4 = U + mâu + Au + i,, + Au.

L'analogie entre les seconds membres des équations (1)

208 LIVRE IV: LIRE NOR et (2), et le développement de la puissance m duri bi. Ÿ nôme, permet de les remplacer pe les équahons sym= bol ques très-simples is #2 7800

AMu—(u— 1}, Um—= (1 + Au)",

dans lesquelles il faut entendre qué les exposants dés puissances de u et Au sont remplacés par des indices.

215. Différentiation des fonctions. ES ‘diféren première d’ une fonction u=F(x JestF(x+Ax)—F(x ). 1 Voyons ce que deviennent cette différence et celle des ordres suivants, quand on prend pour F (x) les fonctions simples x,, a*, logx, sinax, cosax, et que l’on suppose Ax constant, : re

Soit d abord u — A x"; m étant positif, on aura o

. m(m—1 AU A. me AZX + d'a t

A x? +- de : +a |: