Cette limite du rapport j SC nomme la dérivée de la

fonction y par rapport à x. Si cette fonction y est représentée par F (x), on représente la dérivée par F’(x). Ainsi dorénavant la signification de cet accent sera définie, pour toute fonction F, par l’équation suivante :

F(x+h)—F(x) ENT ROLE

lim

gù - LIVRE 1.

En employant cctte nouvelle dénomination, nous pouvons donc dire que le problème des tangentes est ramené à la détermination de la dérivée d’une des coordonnées par rapport à l’autre; et que le coeflicient d’inclinaison de la tangente sur l'axe des abscisses est la dérivée de l’ordonnée par rapport à l’abscisse. |

Les dérivées ont beaucoup d’autres usages que la détermination des tangentes ; nous nous bornerons en ce moment à quelques remarques très-simples. Si nous représentons, pour abréger, par À l'accroissement de F (x), correspondant à l'accroissement 2 donné à x, on aura

4 | lim. 5 FE" (23)

, À . 74 pe À 4 Li » à « ct par conséquent F: diffère de F’ (x) d'une quantité qui (4

tend vers zéro en même temps que À; la désignant par w, on aura

d’où k=h{F'(x)+o] = F'(x) + kw.

Ainsi A F"(x) ne diffère de k que d'une quantité infiniment petite par rapport à L ou à k; donc on pourra substituer h F'(x) à k toutes les fois que K sera un des termes d'un rapport ou d'une somme d’infiniment petits, dont on cherchera la limite. Remarquons que k F’ (x) est l’accroissement de l’ordonnée de la tangente pour l'accroissement À de l’abscisse, Donc À w est la différence des ordonnées de la courbe et de la tangente; elle est, comme on le voit, infiniment petite par rapport à l’ac-

croissement même de l’ordonnée; et il faut remarquer

que l’ordonnée peut avoir une direction arbitraire pourvu

que ce ne soit pas celle de la tangente elle-même, sans quoi F (x) ne serait pas une quantité finie et les formules précédentes ne subsisteraient plus. Il résulte de là une grande simplification, parce que la quantité © serait en général très-compliquée; et en négligeant la quantité how, il n’en résulte aucune erreur dans les limites des sommes ou des rapports.

12. La dérivée d’une fonction peut servir à reconnaître dans quel sens varie cette fonction à partir d’une valeur quelconque de la variable dont elle dépend; ce qui est souvent utile. En effet, en désignant toujours par hk et kles accroissements correspondants de x et F (x) nous avons trouvé

4 = h AE —+- o |,

u) étant infiniment petit en même temps que À.

Or si F’(x) n'est pas nul pour la valeur x que l’on considère , w ayant pour limite zéro, finira par être constamment au-dessous de F’{(x) et le facteur F'(x) Lo sera de même signe que F’ (x). Donc k sera de même signe que 2, si F’(x) est positif, et de signe contraire . sal est négatif. Ainsi une fonction croît dans le même sens que Ja variable pour toutes les valeurs de x qui rendent sa dérivée positive, et en sens contraire pour celles qui la rendent négative.

On reconnait encore facilement que de deux fonctions, celle-là croît le plus rapidement dont la dérivée est la plus grande. |

En effet, soient les deux fonctions F (x), f(x); k et leurs accroïssements correspondants à l'accroissement de x; on aura

LE (e Er 1, = 4[f' (x) ol,