CALCUL INVERSE DES DIFFÉRENCES
221. L'objet qu'on se propose dans ce calcul est de remonter de la différence d’une fonction à cette fonction même; ou, plus généralement, de déterminer une fonction quand on connaît une relation entre elle, ses différences d'ordre quelconque et la variable indépendante.
La différence d’une quantité indépendante de la variable étant zéro, il s’ensuit que, lorsqu'on aura trouvé uné fonction d’après une différence donnée, on pourra
lui ajouter une constante arbitraire, et l’on aura une so-
lution plus générale de la question. Maïs ce ne serait pas la plus générale, comme dans le calcul infinitésimal ; et,
pour obtenir, il faudrait ajouter à la fonction trouvée la
fonction la plus générale ayant pour différence zéro. Or, si l’on donne à x l'accroissement A x, toute fonction périodique de x ayant À x pour période prendra un accroissement nul, à partir d’une valeur quelconque de x; et, réciproquement , il n’y a qu'une pareïlle fonction qui
soit dans ce cas pour toute valeur de x. On voit donc ques
lorsqu'on donne l'expression de la différence d’une fonction de x, relative à la différence Ax de cette variable, il suffira de connaître une fonction particulière qui satisfasse
à la question; ei l’on obtiendra la solution la plus géné-:
rale en lui ajoutant une fonction périodique arbitraire, ayant pour période la différence donnée Ax.
On sait que toute fonction périodique peut être repré-
sentée par une série convergente, dont le terme de rang
Aa A EE SU ZE
DR DT du à M a CL
n +1 a-la forme .
Le | 2RTX DNNNTE LC
À, sin + B, cos ;
l'étant la grandeur de la période. On voit donc que, dans
le problème inverse des différences, la constante arbi-
traire sera remplacée par une série dent le premier terme M sera constant, et le terme de rang n +17,
£ 2K XL z A, sin TRE »
ZT + .B, €osS «
” C’est là ce que nous désignerons, pour abréger, sous la dénomination de constante arbitraire.
Si cette quantité devait être constante quel que fût Ax, alors l’étendue de la période étant nulle, on aurait une quantité absolument indépendante de x.
. Nous représenterons par Zu la fonction générale dont la différence première est u; par Z°u, celle dont la différence seconde est uw, et ainsi de suite.
.…. 222. Si l’on considère une valeur quelconque x, dela variable et une autre valeur x telle que x, = x + n Ax, n étant un nombre entier quelconque, il est facile d’exprimer l'accroissement que prend, la fonction F{x) dont la différence est u, lorsque la variable passe de x à x,; car il est la somme des accroissements correspondants aux valeurs x,x + Ax,...,x +(n—1)Ax, etsa valeur est, par conséquent,
U + Uk Ut se + Uni
on a donc F{xs) =F(x)+u+u+...+ Uni.
La fonction F (x), dont la différence est u, peut être considérée comme renfermant une constante arbitraire. II. 20
ou plutôt comme étant elle-même une constante arbitraire, si l’on particularise la valeur x.
Si on la désigne par C, et qu’on représente par Zu, la fonction la plus générale qui a pour différence u,, on aura la formule suivante :
(r) Sun CHU + + He Unis
223. Il est nécessaire d'observer que la fonction périgique qui entre dans C devra être traitée comme une quantité ARENA de x, dans les intégrations. En effet, supposons qu’on cherche la fonction la plus générale doni la différence soit la fonction p, dont la période est Ax. Si l’on considère uhe valeur quelconque de x, et ioutes celles qui en diffèrent d’un multiple quelconque de A, les valeurs PUS de la fonction cherchée seront les mêmes que ‘si o était remplacée par une constante égale à sa valeur relative à la première valeur de x. Donc, en traitant 9 comme on traïterait une quantité RÉTSR Ms de x, on aura la fonction doft la différence est o. |
On peut d’ ailleurs le. vérifier bien facilement. En effet, la fonction dont la différence est une quantité a,
Ë $ 4H A FA indépendante de x, est TS C, C désignant une constante arbitraire dans le sens déjà défini.
e , LL 4 À Or la différence de = est ©; donc FT + Oise th Ax Ax
fonction la plus générale ayant pour différence 9; et, comme elle ne diffère de la précédente que par le change-" ment de a en ©, il s’ensuit que ces fonctions périodiques doivent être traitées dans les intégrations corffme les constantes proprement dites.
Ç %, à #4 xk CL)
& à + Integration des fonctions.
224. Nous commencerons par faire observer que tout facteur constantepeut être placé indifféremment sous le signe Z, ou en dehors; et que l'intégrale Z d’une somme est la somme des intégrales des parties qui la composent. |
Cherchôns d’abord l'intégrale de x”, c’est-à-dire la fonction qui croît de.x” quand on y donne à x l’accroissement Az, et que nous désignons par 2x”; pour cela, remarquons que l’on a |
AM A a +. Ati ESA
A(z"+t)= (1m + 1)x"Ax +
prenons maintenant l'intégrale de chaque membre, et considérons la constante arbitraire comme renfermée dans les sommes indiquées; nous obtiendrons
(m+i)m de se
2H = (m + 1)AZLIA" + Az? 2"
At 2x2, HAXMTIS T, DH:50:3 à
d’où
M à m— | Hi (m+1)Axr TEST (2) m(m—1)Azx? A x" —— DE ie —- ET 19593 MmHI
Si l’on donne successivement à m les valeurs 0, 1, 2, etc., on obtient, en désignant par C une constante arbi-
€ LAS à 12 A. «, as % de e Ÿ 308 | LIVRE IV. PRET ; * .
traire, + | x I1=—#C D: A x / x? I = —— — x +C »> 2Ax 2 op “ x° I Lu —— 2 + —— x + CG r (3) 2, 3Ax 2 6 É x I Ax Dir — VTT ASS + —RT D te C, does 4 D À as I FE Te 2 LC Li = —— — — SI CR
Connaïissant Zx1",.on pourra déterminer Z?x" en cher-
chant, d'après les formules précédentes, l'intégrale de 6
chacune des parties de Zx”, en ajoutant ensuite une constante arbitraire. On trouvera: ainsi 2x”, Z'æx", etc., et à chaque intégration il s’introduira une ruelle con- -stante arbitraire. *
295. Nous avons obtenu précédemment la formule A[x(x+Ax)...(x+nAx)] , —(x+Ar)(r+24x)...(x+mAx)(r +1)Az;
donc
D E+ Ax}(r+2A4x).. he + nAx)
= À LT ÉD EE DR VA PAR Le +nAzx)+C.
Nous avons encore trouvé
* — (n+1)Ax
(x+n 5 + x(x+Ax)...[x4-(7+ 1)Ax |’
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 309 donc | .
HÉTEe Rs) ..[x + (7 +1)4zx]
pa + (n+1)Ax.x(x4#ax)...(x+nrAx) Ben
296. Déterminons maintenant Za*. Nous avons vu que l’on avait
ne À & .
Aa = a* (a th) . |
on aura donc, en intégrant les deux membres , puis divi-
Az
sant par a Là
et, par suite,
Y'«— SORT APS + 2 C NN (ane 1) ï
27! C se déterminera par le moyen des équations (3), en cherchant successivement Z'C, 2 C, etc.
