CHAPITRE XXX

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LOIS SUIVANT LESQUELLES VARIE LA DIRECTION DE LA NORMALE A UNE SURFACE.

250. Pour avoir une idée nette de la forme d’une surface, dans le voisinage d’un quelconque de ses points, il ne suflit pas de connaître la forme des sections faites par des plans passant par la normale en ce point, quoique ces courbes déterminent tous les points de cette surface. Il est encore nécessaire de connaître la loi suivant laquelle varie la direction de la surface elle-même, ou de son plan tangent quand on marche suivant une quelconque de ces courbes, ou quand on passe de l’une à l’autre. Ainsi, la courbure des sections normales, d’où se déduit d'ailleurs celle des sections obliques, ne suffit pas pour donner, dans le voisinage du point, une connaissance approfondie de la forme d’une surface. Elle ne fait connaître que la loi d’inflexion des courbes tracées sur cette surface, et non la loi d’inflexion de la surface elle-même.

L'ingénieuse théorie des tangentes conjuguées ne suffit pas non plus pour remplir cet objet; car, quoique la dépendance des directions de ces deux tangentes soit liée d’une manière intime à la forme de la surface, elle ne saurait en donner une idée nette, parce qu’elle en est une conséquence très-éloignée.

On voit done ce qui manque encore dans l’étude que nous avons faite jusqu'ici de la forme des surfaces. Nous la compléterons au moyen d’une considération nouvelle,

342 HAUT BryRE CMS | due à M. Bertrand. C’est de son Mémoire que nous avons ” extrait les diverses propositions que nous allons exposer.

251. Soient À { fig. 9) un point quelconque d’une surface, et AZ la normale. Menons par AZ des plans dans « toutes les directions, et sur chaque courbe d’intersection « de ces plans et de la surface prenons , à partir de À, une longueur infiniment petite, AM — &; cette longueur, di- 4 visée par l’angle des tangentes extrèmes, donnera le rayon M de courbure de cette courbe au point A.

Soit maintenant MN la normale à la surface en M. Sa direction sera déterminée par les angles qu’elle fait avec M trois axes rectangulaires, par exemple la normale AZ, « et deux droites AX., AY menés à angle droit dans le a tangent en A. Pur obtenir des expressions plus simples pour les cosinus des angles cherchés, nous choïsirons pour les axes AX, AY les deux directions pour lesquelles

dxdy néral; on l’obtient en faisant disparaître le rectangle xp dans le développement de la valeur de z suivant les puis “ sances croissantes de x et y. La discussion est la même que celle que l’on fait dans la théorie des courbes du second degré ; et si, après la disparition du terme renfermant xy, les coefficients de x° et y” étaient égaux, tout système d’axes rectangulaires jouirait de la propriété de. faire disparaître ce même terme. Cela posé, faisons, en

nul à l'origine. Ce système est unique en gé- «

ON: a

je à ke

Ce

général, 4 6 dz d’°z d2z Po | = EUR dy 1? Ai Te dxdy — ? di — f, 0

on aura, à l’origine, 4

Si l’on désigne maintenant par X, Y, Z les angles quefait

ee ".

INTÉCRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIKLLES, 343

avec les axes la normale én un point quelconque de la surface, on aura, comme on le sait,

POUND, COST lg : CO ZE EX,

Ja valeur de À étant

here le double signe correspondant aux deux sens de la normale.

Appliquons ces formules au point M, et désignons par & l’angle que fait avec ZAX la trace AU du plan de la section sur le plan tangent; les trois coordonnées x, y, z du point M seront respectivement, en négligeant les infiniment petits du second ordre, s cos &, esin x, 0. Pour connaître les valeurs de Àp, Àg, —2X au point M, il suffit d'ajouter à leurs valeurs en A les accroissements qu'elles subissent par les changements infiniment petits que recoivent les coordonnées quand on passe de l’origine A au point M. Or, au point A, on a

MON 4 O0, st Op et Ah,

en choisissant le signe supérieur du radical. On aura donc, au point M,

(1) cosX —ercosa, coSYŸ — ersinc, cosZ = — 1, et, par suite, sin Z — cos’ X + cos! Y — € Vr° cos’ a + sin’, ou, puisque Z est infiniment petit, Z = E€ Vr: cos? x + l? sin’«,

les valeurs de r et { se rapportant à l'origine. lelles sont

344 | LIVRE IV. a les formules très-simples qui déterminent la RE d’une normale quelconque infiniment voisine de la pres 4 miére. R ;

252. Nous avons dit que ce qu il faut connaître, c’est la loi suivant laquelle varie la direction de Ja Htniales aà la surface dans le voisinage du point A. Or, c’est à quoi | Von parviendra en exprimant, au moyen de & et el

1° l'angle 0 que fait avec AZ la projection MP dela ei À MN sur le plan de la section, ou la normale à la section … de la surface par le plan ZAM; 2° l’angle w de MN avec sa É projection, c'est-à-dire avec le plan AZM. On peut remarquer que la première de ces deux coordonnées angu= laires détermine la courbure de la section nôrmale AZM. Considérons d’abord le premier de ces deux angles : il est complément de celui, que MP forme avec AU; et, en 4 négligeant toujours les infiniment petits de second ordre 4 ce dernier est le même que celui de MN avec AU, parce que le plan de l'angle infiniment petit NMP est perpen= diculaire au plan ZAU, et ses côtés font des angles finis avec AU. Mais, d’après les formules (1), le cosinus dem

l’angle de MN avec AU, qui est égal à cos X cos « + cos Y sinc, aura pour valeur e (rcos? a + tsin°œ) — sin6 = 0.

C’est le sinus de l'angle de contingence de la section, où« cet angle lui-même. En le divisant par l’arc €, on aura la« courbure que nous désignerons par #; ce qui ds la

formule

(2) p= rCcoS « + sin? «+

253. Passons maintenant au second angle NMP. Il est évidemment le complément de: celui que MN fait avee la” ï

perpendiculaire au plan ZAU. Prenons la direction de cette dernière dans le sens où elle fait avec AX l’angle

T . fac » Q a+ ,et cherchons le cosinus positifou négatif de l’angle

qu'elle fait avec MN : ce sera le sinus de NMP, ou cet angle lui-même, considéré comme positif quand la normale MN sera du même côté de ZAU que la droite menée sous l’angle « + et négatif quand il sera du côté opposé.

L'expression de ce cosinus est

T° cos X cos drtr ï + cos Y cos,

(tie | e sinœ cosæ(t—7r), ou encore e Sin 2 & — (t—r),

Si donc nous désignons par ow l'angle positif ou négatif NMP , nous aurons

Les formules (2) et (3) donnent l'expression des deux quantités que nous nous proposions de déterminer ; nous allons en développer les principales conséquences.

254. Conséquences de la formule (3).— Si nous supposons € constant, l’angle w variera proportionnellement au sinus du double de l’angle «; d’où il résulte immédiatement qu'il est nul pour les quatre valeurs particulières

RO

a OO; Éd al ET; 5 es , À 2

c'est-à-dire quand le point M se déplace. suivant l’une quelconque des deux directions AX, AY.

On voit de plus que l’angle w ne peut devenir nul pour aucune autre direction, à moins que lon n ait = F3 auquel cas il est nul pour toute direction.

Nous obtenons ainsi cette propriété remarquable :

En tout point d’une surface quelconque, il existe deux directions rectangulaires telles, que les normales à la surface menées par les points infiniment voisins du premier dans l’une quelconque de ces deux directions sont situées dans le plan normal conduit suivant cette direction ; elles sont donc dans un plan contenant la première ere et, par conséquent, la rencontrent. Lorsqu'ily a plus de deux directions jouissant de cette pr opriélé , toutes les autres en jouissent.

Nous donnerons à ces deux directions remar quablés x: dénomination de directions principales. 1] ne faut pas oublier que nous avons négligé les infiniment petits du second ordre. Ainsi l’on doit entendre que les normales, menées par les points situés à une distance infiniment petite les unes des autres dans ces directions, peuvent bien ne pas réellement se rencontrer, mais que leur plus courte distance, si elle n’est pas nulle, ne peut être qu'un infiniment petit d’un ordre supérieur au premier. Cet ordre est au moins le troisième d’après la remarque du n° 270, tome I°". |

On a A un nom particulier aux courbes tracées sur une surface, et qui , en chacun de leurs points, ont une direction qui jouisse de la propriété que nous venons de reronnaître; on les nomme des ügnes de courbure. On peut évidemment en faire passer deux par un point quelconque de la surface. dé