La formule (3) conduit à une proposition géné

"A0 1E PUR, DPRPR ST ON DAT RTE À ñ x D à : 4 W3 D nude CARE DD DE s &

rale, que nous allons faire connaître, et d’où nous aurions pu déduire la précédente; mais celle-ci se présentait si naturellement, que nous avons cru devoir la faire remarquer immédiatement. Si nous considérons les deux direc-

” , CRT T tions déterminées par les angles « et « + —-; « ayant une

valeur quelconque, les deux valeurs de w seront égales et de signes contraires ; donc, en ayant égard au sens dans léquel nous avons fait voir qu’il fallait porter l’angle w, suivant qu il était positif ou négatif, nous pouvons établir la proposition suivante :

Si, en un point quelconque d’une surface, nous considérons deux directions rectangulaires sur lesquelles nous prenions des longueurs infiniment petites égales, ‘et que, par leurs extrémités, nous menions des normales à la surface, ces normales feront respectivement des angles égaux avec les plans menés par la normale au premier point et chacune des deux directions; et, de plus, elles seront toutes les deux comprises dans l'angle dièdre droit.que forment les deux plans, ou toutes les deux en dehors.

Cette propriété, comme l’a fait voir M. Bertrand, renferme évidemment la précédente. En eflet, puisque le sens dans lequel il faut porter l'angle w change en passant d’une direction à celle qui lui est perpendiculaire , il y a nécessairement une direction intermédiaire pour laquelle l’angle w est zéro. Il est donc nul aussi pour la direction perpendiculaire à celle-ci, et l’on retombe ainsi sur la proposition précédente.

256. Conséquences de la forinule (2). — Considérons deux directions rectangulaires quelconques correspon-

FT PL dantes aux angles à et à + L Désignant par, v’ les cour-

348 LIVRE IV. ATEN 2 bures de ces deux sections normales, nous aurons …

D = rcos'a + € sine, 4 "AO RS | D'= r sin?a + # COS?& ; Léa +: A

d’où

à yep:

On arrive donc à ce théorème remarquable :

Dans toute surface, la somme des courbures de deux sections normales s faites en un méme point par deux : plans rectangulaires quelconques est constante.

Cette somme est donc celle qui se rapporte aux deux. sections qui passent les directions principales en ce point, puisque ces directions sont rectangulaires. Les valeurs de v qui s’y rapportent s’obtiennent en donnant successi-

{ F vement à à les valeurs o et LE elles sont donc r'et t.

On peut remarquer que l'expression de v, donnée par la formule (2), reste la mème quand on change & en. 2 7 — à. D'où l’on conclut que, pour deux plans normaux symétriques par rapport à l’un quelconque-de ceux qui passent par les directions principales, la courbure des sections est la même. - |

On peut encore faire une autre observation du n'est pas sans intérêt. Si l’on partage en parties égales infini= v ment petites l’espace LA es autour d’un point quelconque d’une surface, et qu'on fasse passer des plans par ces lignes de division et la normale, la moyenne des courbures de toutes ces sections sera la demi-somme des courbures principales , c'est-à-dire des courbures des sections principales. Car on peut partager toutes ces sections en groupes de deux sections ayant leurs plans perpendiculaires; et, comme dans chaque groupe la somme des courbures est la demi-somme des courbures principales, la moyenne générale sera aussi cette demi-somme. Enfin Le celte courbure moyenne n’est autre chose que celle de la 1

Mrs

section équidistante des deux sections principales. Car ,

L2 T en faisant & — -, on trouve

plus mi ?

D — ee

257. Lorsque les coefficients r et { sont de mème signe, auquel cas on peut les supposer positifs, puisque cela ne dépend que du sens dans lequel on prend z-positif, il est facile de voir qu'il existe un maximum et un minimum pour la courbure des sections normales. En effet, la valeur de » peut se mettre sous la forme

v=r+(t—7r)sin «, et l’on reconnait immédiatement que, si l'on à {—7 >0, la plus petite valeur de v correspond à «x — 0, et sa plus \ T . .

grande à & —-;: ces valeurs sont 7: et {. L’inverse à lieu

si l’on a t— ro; d’où l'on conclut ce théorème : De toutes les sections normales faites en un méme point d'une surface, celles qui passent par les directions

principales en ce point présentent le maximum et le

minimum de courbure.

Nous donnerons à ces deux sections particulières le nom de sections principales. |

Les directions des tangentes à la surface, qui sont dans le plan de ces sections, sont déterminées par l’équation (3) du n° 247, et, par suite aussi, les directions principales et les tangentes aux lignes de courbure.

On aura donc l’équation différentielle des lignes de courbure, en remplaçant dans léquation (3), cosa, cos6, cosy par les quantités proportionnelles dx, dy, dz. Onirouvera ainsi

rdx + sdy ke tdy + sdx

+ pt) de + pqdy (1 +) dy + pqde

350 | LIVRE IV. | | ES FREE is # 258. Supposons maintenant que r et & soient de sig DORE REÉS et que r, par exemple, soît positif. A partir de a = 0, qui donne v=—7r, .v va en diminuant jusqu’à ®%

qui correspond à à tang à — . Il devient ensuite négatif;

ce qui appr end, comme nous l'avons fait remarquer, que | le centre de LA passe de l’autre côté du plan tangent

T “ Pour (e Aa La? 2) prend Sa valeur maximum, qui serait ne 4

minimum si l’on faisait abstraction du signe, Il passera Ne ensuite symétriquement par les mêmes valeurs dans les trois autres angles droits. On retrouve ainsi les résultats 1 déjà obtenus par d’autres considérations. Il en serait de “+ même pour le cas où l’un des coeflicients r, t serait nul | ; Longueur et position de la commune perpendiculaire

à deux normales infiniment voisines... =

959. Prenons l’une des normales pour lixe AZ ( fig. 9), et pour axes des x ty les tangentes aux sections HOTEU IE de courbure maximum et minimum. Fe employani les mêmes dénominations que dans les n°° 251, 253, on aura, pour la seconde normale, ne. à 4 COSX — 67 COSu, COS Ÿ — etsina, cosZ — — HO f 7

sin Z — 2 —e6 Vri cos’ + f'sin?«

Soit mené ; par AZ (fig. 9) un plan ZAV caralléle à à Ré 1 seconde normale MN, les cosinus des angles. de A 180 trace AV avec les axes AX, AY seront dans le même 1 rapport que pour toute droite comprise dans le plan ZAY, | et, par conséquent, que pour la parallèle à la normale. 4 Si done on fait VAX — @, on aura Mar

COS® rCOSa tie AU 0 = #5 "OÙ tangp—-tanga:

sin tsnmax a run PETER

Or la longueur de la plus courte distance d des deux,

‘INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES,. 351 normales est égale à la perpendiculaire MI abaïssée d’un

point de MN sur le plan ZAV; on aura donc de sin(p — «) —e (sin y cosæ — sin a cosy),

et, comme on a

, t Sin & r COS & D © », COS ne or 2 Ÿ 7? COS” « +- sin’ « Vr' cos a + F sin il vient | 5 e(é— r) sin cos x € EE es Vr° cos a + € sin°a Z

d'après les dénominations déjà emplovées.

] p10Y On voit qu’elle est nulle, quel que soit &, sit— 7, et q ; 9 que , dans le cas contraire, elle ne l’est que pour « — 0

T « = - “ et & — Se c’est-à-dire pour les normales menées suivant

les directions des sections principales. Pour toutes les autres valeurs de «, elle est infiniment petite du premier ordre. |

Si l’on désigne par p, p' les rayons de courbure principaux, On a

et au e(p — p')sinx cosa

Ve° sin? &« + p/° cos? x On peut remarquer que la direction de MT, ou de la commune perpendiculaire aux deux normales, est celle de la tangente conjuguée. de AM. .

En effet , la tangente de l’angle de MI avec AX estégale

à — coto ou — —-—-;: le produit de cette tangente par ? ttang a P k È 72 UE à ..

tang a est donc — =» ce qui démontre la proposition.

260. Cherchons maintenant la hauteur à laquelle se trouve située La commune perpendiculaire aux normales

AZ, MN. Il faut pour cela mener, par la projection rai ER sur ZAY, une parallèle à MN, et chercher sa rencontreN avec AZ. Or l’angle de IN’ avec 24 étant celui qui a été é désigné par Z, on aura

a NS Ar; Ve? — 0° SE € ns a VA TS SU ANT MOT ANNEES

Et, comme 8, w, Z ‘sont les trois côtés d'un. triangle k. sphérique resiatiile infiniment petit; ona | 4

re €? Ne w° 3 et, par conséquent, , | FE DA ANES ARE At

Le point N'est donc très-différent du centre de cour- 5 büre R de la section ZAU, dont la distance à À est

En introduisant R dans LRRPETAE de AN’, , On l'E k donne la forme suivante : |

AN' est donc plus petit que R puisqu'on aZ>6, et 162 T. pied N'de la perpendiculaire commune est entre À et le centre de courbure de la section. Pour que l'on ait

AN’= R, il faudra ques — — ir et, par suite, 7 = ON alors 4 d sera nul : cela n’a lieu que pour les sections principales. 4 ; : Si l'on voulait connaître la distance du centre de cour- Fe bure de la section ZAU à la normale MN, il sufhrait de 4 4 considérer le triangle rectangle dont R re hype 4 et o l’un des nt aigus. La distance cherchée serait ainsi

R sinw ou Spleen Row. Son rapport à la commune. # 4

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 353 ; 4 Es € & R wû * perpendiculaire d dont la valeur est 9 — Hi 7 SR

Z donc =.

nc =

Théorème de M. Dupin sur les surfaces orthogonales.

261. Ce théorème consiste en ce que : $ trois séries continues de surfaces se coupent mutuellement, et de telle manière qu’elles soient à angle droit en chaque point de leur rencontre, ces lignes d’intersection seront pour chaque surface ses lignes de courbure.

M. Bertrand a déduit de son théorème fondamental une démonstration très-simple de cette proposition. Considérons, en effet, trois séries de surfaces orthogonales, et soient en un point À { fig. 10), AX, AV, AZ les tangentes aux courbes d'intersections des surfaces que donnerit respectivement en ce point les trois séries que l’on considère. Prenons sur ces courbes les points M, N, P # des distances infiniment petites égales du point A. En chacun de ces points les normales aux deux surfaces qui y passent sont perpendiculaires. Soient «, 6, y et a, 6, y les angles que font respectivement avec les axes AX, AY, AZ les deux normales Mm, Mm’, on aura

COS & cos æ/ + cos 6 cos 6” + cos y cos y — 0.

Or «x et a! diffèrent infiniment peu d’un angle droit, et 6, 7 sont infiniment petits : cette équation deviendra donc, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

(a) cos 6” + cosy — 0.

Soient de même 1, 61, 1, et æ,, 6, y, les angles corres-

pondant respectivement aux normales Nn, Ny/, et enfin Any Ou» Vas Lys 65 Y, CeUX qui correspondent aux nor- IT. 23

males P p, Pp°: on aura semblablement

(b) cos Y + cos RERO (ec) 0m" COS a, + cos 8: —=.0:

Ces trois équations (a), (b), (c) résultent de ce que les

trois surfaces sont rectangulaires en tous les points de: leurs intersections respectives. Maintenant, d’après le

théorème de M. Bertrand sur les normales à ner surface, on aura les trois suivantes , dont la première se rapporte à la surface qui a pour normale AX, la seconde à celle qui a pour normale AY, et enfin la troisième à celle dont la normale est AZ : F7 PNMT

(d) cos 6 — cos y’, , (e) | cosy = COS æ/i., (f) cos &, —= cos 6.

La combinaison de ces équations avec les trois en conduit facilement à la démonstration de la proposition *que nous avons en vue. En effet, si nous reportons dans les premières les valeurs de trois des cosinus qui entrent . dans les dernières, par exemple ceux qui forment les premiers membres, | vient ne

cos6/ + cosæ,—0, cosy, +cos6 —0, cosx/, + cosy, —0. ; 7

Ajoutant les deux premières et retranchant la troisième, on obtient | 2C056/ —0,, ou cos6 — 0,

équation qui en entraîne immédiatement Es autres : de sorte que l’on a

POSE — COS y — O0, cos d', = 0,

O0 COS 6: — 0) : COS V2 ,0,. COS ae

La première exprime que la normale Mn est FR 12 plan ZX, et par conséquent rencontre la normale AZ;

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 355 d’où il suit que AM est dans la direction d’une ligne de courbure de la surface à laquelle AZ, est normale, Il'en serait-de même des autres; de sorte que ces six équations démontrent que les trois intersections des surfaces proposées sont sur chacune d’elles dans les directions de ses lignes de courbure.

Cette propriété ayant lieu en tous les points d’une quelconque de ces courbes, elle ne sera donc autre chose qu’une ligne de courbure de chacune des surfaces dont elle est l'intersection. On peut donc énoncer le théorème suivant, qui est celui de M. Dupin :

Lorsque trois séries de surfaces se coupent orthogonalement, leurs intersections ne sont autre chose que leurs lignes de courbure respectives.

Et comme dans les calculs précédents on n’a fait entrer que la considération des trois surfaces qui passent au point À, on peut énoncer le théorème suivant, qui entraine celui de M. Dupin :

Si trois surfaces se coupent de manière à étre normales en tous les points où elles se rencontrent, les courbes d’intersection seront, sur chacune des trois sur- Jaces, tangentes aux lignes de courbure menées par le point commun aux trois surfaces.

Remarques générales sur les systèmes de droites menées par tous les points de l’espace.

262. Les propriétés que nous avons déduites de la formule (3), relativement aux normales à une même surface, sont caractéristiques ; c’est-à-dire qu'elles n'auraient pas lieu relativement à un système de droites dont la position serait déterminée pour chaque point de l’espace par des fonctions continues de ces coordonnées, mais qu ne seraient pas normales à une série de surfaces. Il n’en est

pas de même de propriétés déduites de la formule (2); elles ne caractérisent pas spécialement les normales à une même surface. Nous allons démontrer ces propositions remarquables, qui se trouvent encore dans le Mémoire de M. Bertrand.

Soient X, YŸ, Z des fonctions continues des coordonnées rectangulaires x, y, z d’un point quelconque : elles déterminent pour ce point une droite unique qui fait avec les axes des angles dont les cosinus c, c/, c” sont proportionnels à ces fonctions. Si l’on pose