VX+Y+Z=D
et que l’on considère toujours le sens correspondant au signe + de ce radical, ces cosinus auront pour valeurs
RTE Z
(a) ES ES Tee
Soient maintenant M (fig. 11) un point quelconque de l’espace ayant pour coordonnées x, y, z; MN la direction déterminée par les équations (1) ; MU, MV deux directions faisant des angles droits l’une avec l’autre, et avec MN; a, a’, a” et b, L', b" les cosinus des angles qu'elles font respectivement avec les axes. Prenons, sur ces directions, deux longueurs infiniment petites, MD — MD'— €, et aux points D, D’ menons les droites DP, D’P', déterminées encore par les équations (1} au moyen des coordonnées de ces points respectifs.
Cela posé, nous allons démontrer d’abord la première proposition que nous avons énoncée, et qui consiste en ce que les lignes DP, D'P' ne feront des angles égaux avec les plans NMD, NMD), et dans le sens indiqué, que lorsqu’il sera possible de faire passer par un point arbitraire de l’espace une surface qui, en chacun de ses points, soit normale à la droite déterminée par les formules (1). Dé=
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 357 terminons d’abord l'angle © de DP avec le plan NMU, ou son complément, qui est l’arigle de DP avec MV. Remarquons, pour cela, que les coordonnées du point D seront -
&+as, Y+aes, z+a"e,
et que les fonctions c, c’, c” de x, y, z deviendront respectivement, pour ce point,
, de , d€ ee (a ta + =)»
(2) Hs C A5 a) dx dy dz ë PMR Co Fac.
C +e(oT+e A a)
D’après ces valeurs des cosinus des angles de DP avec les axes , le cosinus de l’angle de DP avec MV, ou le sinus de l’angle w, ou enfin cet angle lui-mème, puisqu'il est infiniment petit, aura pour expression, en observant que l’on a bc + bc + bc" — 0,
x. de , de y de PS MC 14 des à a bla a = +a—|+eb (Le ER dx
dx dy dz d, dy dz M a faae del | de a — — +06 , { d dy T°
Il est presque inutile de remarquer que, si l’on prenait le point D sur une courbe quelconque tangente à MD, la valeur de w ne subirait aucun changement, puisque nous négligeons les infiniment petits du second ordre.
Si maintenant on veut calculer l’angle de D’ P’ avec le plan NMV, et dans le même sens par rapport à ce plan, il faudra , dans l’expression précédente, changer a, a/, a/, en à, b’, b", et b. b!, ben — a, — a, — a/. Si donc on prend cet angle en sens contraire, ce qui se fera en ckan-
geant les signes, on aura, en le désignant par ©}.
lc de de\ à dc dc de” :
— d'a biere D Ye a! tb PR NES 4 Fe SL Ab SJ # GS + ni | =) rie dc" , dc” LAC | ca —— ee .
dx on dy A dz
Ce que nous cherchons, c’est la condition pour que w=—w),
quelle que soit la direction MU. Or, en formant la diffé-
rence & — u), et se rappelant les formules connues ab'— ba = 0") a"b=b'a=c, ab=bat=ce
qui résultent de ce que les trois directions en M sont rec-
tangulaires comme les axes , on trouvera immédiatement
de”. de és ‘de! dc” dx = dz . dz dy
d «de’\ (3) su «' (x) dc
La condition nécessaire et suflisante pour que les angles
w, uw soient égaux, est donc quelle second membrede cette équation soit nul; et l’on remarquera que, comme il ne dépend que de quantités constantes pour le méme point
M, s’il est nul pour une certaine direction choisie pour
. . de HE MU, :/ le sera pour toute autre. Mais on peut, dans cette équation de condition, substituer aux quantités e, c’, c”
les quantités respectives X , Y, Z qui leur sont propor-
tionnelles. Car la forme de cette équation fait reconnaître immédiatement que l'introduction d’un facieur commun , fonction de x, Y, Z, dans les quantités €, c’, c’ / ane pro-
duirait que des termes qui se détre e à un facteur
commun qué P on pourrait SR PONTHRES
Aüinsi la condition TES nécessaire et « suflisante |
pour l égalité des angles w, w’est :
" dY dZ) ré dx na ex En an k dz dy dx da dy dæ }°
Or cette condition est précisément celle de Pintégrabilité
F er:
T1 la +
de l'expression X dx + Y dy + Zdz = 0;
ét, quand elle sera remplie, cette dernière équatiun représentera une série de surfaces, en chaque point desquelles la normale fera, avec les axes, des angles dont les cosinus seront proportionnels à X, Y, Z.
Ainsi, l'égalité des angles w, w en un point quelconque M de lespace, entraine cette conséquence, qué, par ur point arbitraire, on peut faire passer une surface telle, que ses normales se confondront avec les droites du système en question. |
Cette propriété, que nous avions reconnué pour une surface quelconque, est donc caractéristique; elle n’appartient qu'aux normales à une surface : elle ne subsiste plus pour tout autre système de droites.
963. Le second membre de l'équation (3) ne dépendant nullement de la direcuon particulière de MU , il s'ensuit que la différence des angles w, w', qui est nulle dans le cas des normales à une même surface, est constante pour un même point, logsque l’on considère un système quelconque de droites, déterminées en chaque point par des fonctions continues de x, y, z. Cetie remarque est due à M. Sturm.
264. Passons maintenant aux propriétés résultantes de là comparaison des courbures des sections normales faites dans une surface par des plans formant entre eux un angle droit ; et voyons si elles sont caractéristiques comme les précédentes, ou si elles subsistent lorsqu'au lieu des normales à une même surface, on considère un sysième continu quelconque de lignes droites. Dans une surface, les normales à la section ne sont autre chose que les projections des normales à la surface sur le plan de cette sec-
tion, et la courbure de la section est le rapport de l'angle de deux normales infiniment voisines à l’arc compris. Nous allons généraliser cette considération pour le système de droïtes déterminées en chaque point de l’espace par les fonctions X, Y, Z. Pour cela, nous ferons passer par une quelconque MN de ces droites un plan quelconque NMU , et nous projetterons sur ce plan toutes les droites du système qui se rapportent-à ses différents points. Leurs directions étant déterminées en fonction des coordonnées de chaque point rapportées, par exemple, à des axes pris dans ce plan, on sait qu’il existe une série de courbes normales à ces droites, parce qu’une équation différentielle entre deux variables a toujours une intégrale; et nous considérerons celle de ces courbes qui passe par le point M. Lorsque le système général des droites deviendra celui des normales à une série de surfaces, cette courbe ne sera autre chose que la section de la surface passant en M par le plan NMU. Cela posé, la courbure w de la courbe que nous venons de déterminer s’obtiendra comme dans le cas où les droites sont normales à une mème surface. On prendra sur MU une longueur infiniment petite MD — e, on mènefà par le point D la droite DP du sysième en question, et l’on cherchera le cosinus de l’angle qu’elle fait avec MU ; il sera le même que celui que la projection de DP sur NMU fait avec MU, et, par conséquent, sera le sinus de angle de cette projection avec NM, ou cet angle même. En faisant usage des for-
mules déjà calculées pour la direction DP, et observant d’ailleurs que
ac + ac +a”c = 0,
on a pour le cosinus de l’angle des deux directions MN,. DP, ou pour l'angle de contingence de la courbe dont il
s’agit :
us de ne de Na de . EE de’ , de’ Fe dc’ —— RSS Es - A — — [4 — dx dy dz de dx dé) dy dz MA, dc” na de” E402 dc” € CRE —— e dx “à da
En divisant cette expression par €, on aurait la courbure cherchée v. Maïs si, pour simplifier les calculs, on prend la direction MN pour axe des z, on aura a/ — 0, et l'expression de v sera, en désignant par & l’angle que fera MU avec le nouvel axe des x,
de dc dc! \-, dr" -5 (4) U—= — COS a + | — + — | sin x COS & + — sin? «. dx dy x dy
Or cette formule va nous démontrer les mêmes propriétés que nous ont offertes les sections normales d’une
. Te surface. En effet, si nous changeons à en «& + 5? nous
trouverons, pour la courbure v’ relative au plan per-
pendiculaire à NMU,
$ des ! dc dc'\ . de’ :
V PRES NT dr M FAO po & d’où rt de dec’ Vi VU TL: + Fe
La somme des courbures relatives à deux plans perpendiculaires entre eux, passant par MN, est donc constante; d’où il suit déjà que, si l’une est maximum, l’autre sera minimum, et réciproquement. Mais, comme cela n'’indique ni le nombre, ni la position des plans qui se rapportent à ces maxima ou minima, cherchons, en général, les valeurs de & qui peuvent donner de pareïlles valeurs
7 La à * he . FA à * \ .
362 GO Ps LIVRE IV, È FH FRE LA d £ à v. La règle ordinaire conduit à l'équation RE su (e m) (F É A 250 RES SIN 2& | —— — — = COS 2 4 TS % r ce » 1 + # ee | dæ dy dy | dr ;
d'où il résulte que les valeurs de & ne construiront que
deux directions, à angle droit l’une sur l’autre, et corres-
pondant > peT conséquent, l’une à un maximum et l'antre | 4 à un minimum de courbure.
On voit donc que les propriétés rétatites à ie, coutr- É
bure des sections normales ne sont pas caractéristiques | pour les surfaces ; car elles se retrouvent pour tout sysième de dire re déterminées en chaque point par dés. fonctions continues quelconques des coordonnées de ce
point. Cette distinction entre les propriétés qui con 3
viennent à tous les systèmes et celles qui ne conviennent qu'aux normales à une série de surfaces, mérite une attention particulière.
265. Nous terminerons cette discussion par la recherche des directions perpendiculaires à à MN (fig. 11),, Suivant lesquelles il faudrait marcher pour que les droïtes infiniment voisines se rencontrassent. On sait, par cé qui pré-" cède, qu'il ne peut y en avoir deux rectangulaires en chaque point; car alors les droites proposées seraient hormales à une mème surface; mais on ignore s’il en existe é et comment elles se trouveront situées.
Soit MU uue direction telle , que la droite NP a SyS—. 1
ième, menée par le point D situé à une. disianceinfiniment petite e de M, rencontre MN, en négligeant tou=
jours les infiniment petits du second ordre.
Il est nécessaire et suffisant, pour cela, que l'angle ©, exprimé par la formule (3), soit nul. Cette condition sera plus facile à interpréter si l’on prend la droite MN.
pour axe des z; on aura alors Ex f AS TTEES Es
#* INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 363 et si l'on désigne par « l’angle de MU avec l'axe des x, d’où résultera
a—CoSa, a'—sinx, b——sinx, b'—= cos,
l’équation qui exprime la rencontre de MN avec les droites infiniment voisines devient
ne" ; de de der PDP since 2 ARRET TOR BTE
ou, en divisant par cos’ «,
7 2 dé » dei es Rene (8) MARS dx A FER EN0D A
Cette équation étant du second degré prouve qu’en chaque point il y a deux directions au plus jouissant de la propriété en question, si l’on excepte les points singuliers pour lesquels les trois coefficients seraient nuls, auquel cas toute valeur conviendrait pour &. On peut d’ailleurs facilement vérifier que ces deux directions, lorsqu'elles existent, ne peuvent être à angle droit en chaque point, si les droites du système ne sont pas normales à une même surface. En effet, la condition d’intégrabilité de l'équation
X dx + Y dy + Zdz = 0 s . , T « ] gd . , n'ayant pas lieu, on n’a pas, à l’origine des coordonnées,
dx dY de dc’ Et 4 — 0, où —
Hd
donc le produit des racines de l'équation (g), qui est dc’
dx L lé \ , # 4 — 7 n est pas égal à — 1, et, par conséquent, les didy rections données par les deux racines de cette équation ne sont pas rectangulaires. :
