LIVRE IV. no Lignes de courbure. e

266. Si, par tous les points d’une ligne tracée sur une surface, on mène des normales à cette surface, elles sont, en général, dans des plans différents, et la plus courte distance de deux d’entre elles, correspondantes à des points infiniment voisins sur la surface, est un infiniment petit du même ordre que la distance de ces deux points et que l’angle de ces mêmes normales. ”

Nous avons déterminé, dans le n° 257, les équations différentielles des lignes qu'il faudrait tracer sur une surface pour que la plus courte distance des normales successives fût, non pas nulle, mais infiniment petite par rapport à la distance des points correspondants de la surface, ou, en général, à l'accroissement infiniment petit du premier ordre des paramètres qui en déterminent la position; et nous avons vu que cette plus courte distance sera au moins du troisième ordre. IL est facile d’en conclure que les normales se trouveront alors tangentes à une même courbe à double courbure; et que leur ensemble formera, par conséquent, une surfacé développable.

En effet, soient M, M;, M,,... les pieds des perpendiculaires communs à chacune de ces droïtes successives et à la suivante. Le polygone MM, M, ,... aura ses côtés infiniment petits du premier ordre, si l’on excepte le cas particulier où tous ses sommets tendraïent à se réunir en un même point. I tendra donc vers une certaine courbe généralement à double courbure. F

Si maintenant on considère le triangle qui a pour. côtés MM, et ta commune perpendiculaire passant par M, son angle en M, sera infiniment petit, puisque le côté … opposé est d’un ordre supérieur à MM, ; d’où il suit que l’angle de MM, avec la droite du système qui passe en M, tend vers zéro. Donc toutes ces droites ont pour li-

mites les tangentes à la courbe limite des points M, M;, M;,.... Nous avons nommé lignes de courbure les lignes tracées sur une surface, et jouissant de cette propriété que la plus courte distance des normales est du troisième ordre. Nous allons les retrouver par cette considération que leurs équations soient satisfaites par les coordonnées d’un même point, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier.

Soient x, y, z les coordonnées d’un point quelconque d’une surface, les équations de la normale en ce point seront

x—x+p(z—z )=0o, x—y + qg(z—=7)=0.

Le point d’intersection de cette ligne et de la normale au point infiniment voisin, dont les coordonnées sont æ'+ dx", y'+ dy!, z'+ dz!, sera donné, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier, par la combinaison de ces deux équations et de leurs différentielles par rapport à x’, y’, z', qui sont

— dx’ — pdz + {rdx! + sdy') (3 z')—=0,

— dy" — qdz! + (tdy' + sdx')(z — z')=0, ou, en remplaçant dz' par pdx'+ qdy",

(1 + p°) dx! + pq dy = (rdx! + sdy')(z — z/),

(1 + q°) dy! + pq dx! — (tdy! + sdzx')(z — z'). La condition pour que les deux normales se rencontrent, s’obtiendra en exprimant que les valeurs de z— z' sont les mêmes dans ces deux dernières équations ; on retrouve ainsi l’équation du n° 257, (+ p?)dx + pqdy (1+gt)dr + pd

rdx' + sdy' ex tdy' + sdx' 6

équation qui est la même que l'équation (3) du même

numéro, et donne, par conséquent, pour les deux

366 LIVRE IV. 46e PV valeurs qui se rapportent aux tangentes des sections nor | males de courbures maximum et minimum. Seulement il 3 faut bien observer que cette équation n’exprime ne que les deux normales se coupent réellement, puisqu'on at? négligé les termes du second ordre; mais que l’on trou 4 vera pour Æ, y, z des valeurs qui satis Qi aux équa- à tions de la première normale, et telles, qu ’augmentées de quantités d'ordre supérieur au premier, ellesisatisfe« raient à la seconde. Elle exprime done que la plus courte distance des deux normales est un infiniment petit du troisième ordre. «410

En chassant les dénominateurs, on lui donnera la forme suivante : | e fier) + +p)e (+ dr r

(9 + (1+p')s — pqr #;

267. Remarque. — Si l'on considère la normale en un point M d’une surface, on peut se proposer de déterminer | la courbe qu'il ERA tracer sur la surface pour que [és normales à cette surface menées par tous les points de cette courbe rencontrassent rigoureusement la première. 3 Cette courbe aurait la même tangente en M que la ligne de courbure, mais ne se confondrait pas avec elle. On à: pensé qu’en prenant sur cette courbe à partir de M un arc infiniment petit MM’, puis construisant une courbe jouissant de la même propriété relativement à la normale @n M/, et continuant ainsi indéfiniment, on aurait tracé Sur la surface une courbe telle, que les normales menées par ses diflérenis points se rencontreraient rigoureusement, 4 ce qui n'a pas lieu pour les lignes de courbures. Cette supposition est illusoire. On remarquera d’abord que les. A normales aux divers points d’un de ces arcs infiniment petits coupent toutes la première, mais ne se couperaient | =

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 307 pas entre elles ; de sorte qu'il ne faudrait considérer que les extrèmes, ce qui n'offre rien de bien net à l’esprit. Il est facile de voir. ensuite que le lieu limite de ces arcs n’est autre chose que la ligne de courbure. Car puisqu’en

chacun de ses points il est tangent à la ligne de courbure

è dl à j passant en ce point, le - y a la même valeur, et l’équa-

tion différenuelle de cette ligne est la même, et conduira à la même équation finie. Il reste done à s'expliquer comment la surface, lieu des normales qui ne se rencontrent pas rigoureusement, peut être la limite d’une surface formée par les normales qui se rencontrent réellement; c’est-à-dire comment une surface polyédrique peut tendre vers une surface où les génératrices. successives ne se coupent pas. Or c’est ce dont on rencontre à chaque instant des exemples. Par exemple, la surface formée par les côtés infiniment petits d’un polygone inscrit dans une courbe à double courbure, a pour limite celle qui est formée par les tangentes; cependant ces dernières ne se rencontrent pas, tandis que les génératrices de la première surface, ou les côtés indéfinis du polygone, se rencontrent. C’est même à cause de cela qu’on appelle AE développable le lieu de ces tangentes, parce que c’est la limite d’une surface composée de faces planes ayant chacune une droite commune avec la suivante, et pouvant par conséquent être rabattues toutes sur un mêine plan, sans soluton de continité.

: Peu À à à er 268. Si l’on élimine entre les équations (8), il vient 6j L

1æ+p—r(z— 2) : pq —s(z—2) Dm ta): 1h —0re#)

Cette équation, joinge aux équations de la normale

déterminera les coordonnées x, y, z du point de rencontre des deux normales infiniment voisines ; et l'on aura la surface, lieu de tous ces points de rencontre , en éliminant x’, y’, z' entre ces trois équations et celle de la sur-. face donnée. | | --1