Les équations (8) ne diffèrent des équations (3) bis
que par le changement de 5 en (z n ARE La valeur de
(z— z')Vi+p?+ 9, ou la partie de la normale comprise entre le point de la surface et le point de rencontre avec la normale infiniment voisine, sera donc égale à
= Vi p°+ g° ou à R. Ainsi, les distances du point de
la surface aux points où les normales infiniment voisines se rencontrent, sont égales aux rayons des courbures principales. Ces deux points de rencontre ne sont donc autre chose que les centres des courbures principales.
270. Cela posé, déterminons la courbe qui, en chacun de ses points, jouit de la propriété d’être tangente à la section principale, et qui est telle, par conséquent, que les normales à la surface, menées par deux points infi- « niment voisins, pris sur cette courbe, se rencontrent. Les « coordonnées x’, y’, z’ d’un quelconque de ces points saüsferont à l'équation (9) et à celle de la surface : cette
dernière donne z' en fonction de x’, y’, et, si l’on substi-
tue cette valeur dans l'équation (9), on aura une équation du premier ordre entre x', y’, et du second degré . dy! SUD ’ pa par rapport à +; on l’intégrera, et l’on aura deux équations finies, renfermant chacune une constante arbitraire, que l’on déterminera en exprimant que chacune de ces deux équations entre x’ et y’ est satisfaite par les coordonnées du point de la surface par lequel on voudra faire
passer les courbes.
OX) CURE LM | ARRETE é x NN SEEN |
C’est ainsi qu'on détermine les équations de ces lignes remarquables auxquelles on à donné le nom de lignes de courbure. È
971. Cherchons maintenant l'équation de la surface développable, lieu des normales à la surface donnée, menées par tous les points d’une de ces lignes de courbure.
Les équations d’une quelconque de ces normales seront
etles coordonnées x’, y’, z' devront satisfaire à l'équation de la surface donnée et à l'intégrale de l’équation (9). Si done on élimine x’, y’, z' entre ces quaire équations, léquation finale entre x’, y', z' sera celle de la surface cherchée.
Les deux surfaces obtenues ainsi pour les deux lignes de’courbure qui passent par un même point, se coupent à angle droit; et, en général, toutes celles qui se rapporient à l’un des systèmes de lignes de courbure coupent à angle droit toutes celles qui se rapportent à l’autre système.
272. Enfin, si l’on veut connaitre le lieu des poïnts de rencontre des normales consécutives, ou l’arête de rebroussement de la surface qui est le lieu de ces normales, ilfaudra joindre l'équation (10) à celles qui ont déterminé l'équation de cette surface. On en éliminera x’, y, z! au moyen des deux équations de la normale, et de celle de la surface donnée; on aura ainsi une seconde équation entre Æ, y; Z, qui, jointe à celle de la surface développable, déterminera l’arête de rebroussement qui correspond à la ligne de courbure que l’on considère.
Cette seconde équation entre x, y, z, étant indépen-
IT. Ft « 24
dante de la ligne de courbure, est satisfaite par les arêtes de rebroussement relatives à toutes les lignes de courbure de la surface donnée ; elle représente donc le lieu de ces arêtes, ou de tous les points de rencontre des normales consécutives de la surface donnée.
273. Les points de rencontre des normales consécutives sont, comme nous l'avons dit, les centres des ceréles osculateurs des sections principales; mais il faut bien se garder de croire-qu'ils soient les centres des cercles osculateurs des lignes de courbure; car les normales qui y passent sont tangentes à une même courbe, propriété qui n'appartient jamais aux normales qui passent par les centres de courbure d’une courbe qui n’est pas plane. Or, en général , les lignes de courbure ne sont pas planes; et même elles pourraient l’être sans que leurs cercles osculateurs se confondissent nécessairement avec ceux des sections principales : on en voit un exemple très-simple dans les parallèles d’une surface de révolution. Il faut, pour qué les centres de courbure des sections principales soient ceux des lignes de courbure, que les plans oseulateurs de ces lignes soient normaux, et que, par conséquent , les lignes de courbure soient les lignes de plus courte distance sur la surface.
Application au paraboloïde elliptique.
274. Soient 2 a, 2 b les paramètres des paraboles principales d’un paraboloïde dont l’axe est dans la direction des z positifs; l'équation de cette surface sera
et l’on aura
Tv I = — 9 Z —» FE —) L=.535 NS 0 P a 1 b b
De
L'équation (9), qui appartient aux deux lignes de cour-
, TEL a bure, devient ainsi, en posant 3 — A,a(a—b)—B,
APN "2, 7:
Axy (2) +(é— AY +B)% —ay = 0.
Si l’on différentie cette équation, on obtient
d'y dx?
dy \? ’ À +[a (2) +1] CT =.
dx dx
Si l’on tire de la précédente la valeur de x? — Ay'+B, et qu'on la reporte dans la dernière, on trouve
ii à { l D (re y) 2 O:
dx? dx dx
d (aa + A +8)
D: d * Divisant par XY … elle devient
GS dy
dx* dx I
— + — — — = 0. dy Y x
dx
Les trois termes étant des dérivées exactes, on aura, en intégrant,
d’où l'on tire, en intégrant de nouveau,
y= Cx'+ C’.
Mais cette équation, avec deux constantes arbitraires, est l'intégrale de l’équation du second ordre, et doit renfer-
mer, comme cas particulier, celle de la proposée. En substituant cette valeur de y dans léquation du premier
372 | RE EN RR EV ordre, on trouvera entre C et C” une condition! qui à réduira ces constantes à une seule. Cette condition est
B Ld | es : ce de sorte que L'ÉUaHOES générale 4 er de courbure du paraboloïde est BC 2 —> C 2 NERO TT.
ou, en substituant à À et B leurs valeurs,
ba(a—b)C
J'= Ca + RAPERPATE
{ Ces courbes se projetteront donc sur le plan des x et F suivant des hyperboles ou des ellipses, suivant que C sera positif ou négatif.
La valeur de cetie constante sera déterminée si l’on donne les coordonnées x’, y’, du point de la surface par lequel on veut faire passer la ligne de courbure : on aura ainsi l'équation 2 ba(a—b)c
122 (m2 PEAR b+ac
, ou
ax'?C+[bx"— ay? + ab(a— b)]C— br? = +
d'où l’on tire pour C des valeurs DESIRE és l’une positive et l’autre négative, que nous désignerons par & et — 6. Les équations des deux lignes de courbure qui se croisent au point donné ont donc pour équations
HEC RAT ei ARE ES LME TE Prin et . ab(a— b)6 EN CRMES NES Fe Fm RT 4 UT a 60
Si l'on suppose a > à, la parabole, située dans le plan
des x et z, est celle qui a le plus grand paramètre. Les
hyperboles suivant lesquelles se projettent les lignes de courbure ont alors leur axe réel dans la direction de l’axe des y, et sa longueur est / NE et b+ax mum pour & — , et sa valeur est Vb(a—b), les hyperboles se réduisent alors à l’axe des y. On voit donc qu’en portant sur l’axe des y, de part et d'autre de l’origine,
: elle est maxi-
des longueurs égales à ÿb (a — b), on aura les limites entre lesquelles tombent les sommets des hyperboles, qui sont les projections d’un des systèmes de lignes de courbure.
L’équation qui représente les projections des lignes de l’autre système donne toujours des ellipses réelles, parce
que l’'onaa6—b=>o,ou6 > 2. En effet, si l’on sub-
le b « 7 e . ’ .
stitue — — à C dans équation qui détermine cette cond a
stante , on trouve un résultat négatif; et, comme elle n'a qu'une seule racine négative, cette racine est numéri-
RTE b quement plus grande que =i ainsi l'on a 6 > = quels
que soient x’, y’, et l'équation ne donne que des ellipses réelles.
; PRG b(a— b) - Le demi-axe des x est égal à va tr et le demi-
\ ab sax PE . .
axe des y à ska Corail La valeur minimum de ce der- A6 D
nier correspond à 6—, et est ÿb (a— b); elle donne les mêmes points déjà trouvés pour la limite supérieure des axes réels des hyperboles. Dans ce cas, l’ellipse se confond avec une partie de l’axe des y.
Si l’on a x'— 0, une valeur de C est infinie; l’autre
est positive si l’on à y'<TVb(a—b}), et négative dans
le cas contraire. Dans le premier cas, les die lignes de courbure sont une hyperbole et l’axe des y; dans le second cas, elles se composent d’une ellipse et de l’axe des y.
Si y'—0o, une des valeurs de C est nulle, et l’autre « négative, Les deux lignes de courbure sont alors une ellipse et l'axe des x. |
975. Les équations qui ARE les ombilics deviennent, dans Le ças que nous examinons ,
zy = 0, a(y+b)= b(x +at);
ce qui donne les deux systèmes z—=0, y—"#+Vbla—b),e y=0, r=EVa(b 2)
On voit qu’un seul donne des coordonnées réelles ; et, dans le cas actuel, e’est le premier, puisque nous avons supposé a >> b. Il y.a donc deux ombilics dans le paraboloïde elliptique; ils sé trouvent sur la parabole principale qui a le plus petit paramètre, et ne sont autre
chose que les deux points que nous avons déjà reconnus comme limite des sommets des lignes de courbure.
276. Si-le paraboloïde est de révolution, les ombilics se confondent avec le sommet. Les deux valeurs de C
deviennent ne et — 1; et les équations des lignes de cour. TX
bure sont
= x et -Yi = De x 0?
la première représente tous les plans passant par l’axe de révolution, et la seconde, des cylindres ayant pour base, sur le plan xy, des cercles de rayon arbitraire, ayant leur centre au sommet. Les lignes de courbure sont donc les méridiens et les parallèles, comme cela a lieu dans toutes les surfaces de révolution. Quant au dieu des centres de courbure, il se compose évidemment de l'axe
