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DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 101 tangente est parallèle à la corde qui joint les points extrêmes.

Remarque. — Cette formule présente évidemment cette proposition importante démontrée tout à l’heure, et que nous énoncerons spécialement :

Une expression dont la dérivée par rapport à x est nulle, quel que soit x, est nécessairement constante, c'est-à-dire indépendante de x.

PUR ; 714. L'équation 5 = F'(x) + w démontrée, quelle que

soit la fonction F, peut se mettre sous la forme k = M,

M désignant une fonction finie de x et de qui tend vers F'(x) quand tend vers zéro.

Si, dans. cette fonction M, on changeait x en x +, elle subirait un accroissement qui, d’après la proposition générale, serait de la forme M, k, , M, désignant une fonction de x, k et A, qui reste finie, quelque petits que soient het k;. Si l’on désigne par À, l’accroissement que subit alors k, on aura

Si de même on change x en x + h3 dans M, , il croitra d'une quantité de la forme M, h,, M; étant une quantité finie dépendante de x, L, h;, h;3 désignant par k; l’accroissement de X,, on aura ainsi

Fo pe M; hh, ne

) . . . # L Et l’on pourrait continuer de même indéfiniment. . , . . ?

Si l’on suppose que les accroissements successifs donnés

à X soient égaux, on aura « #—M4, k —=M X, 4 =M,#;

et ainsi de suite indéfiniment.

On arriverait ainsi à cette proposition générale :

Un accroissement d’un ordre quelconque d’une fonclion, correspondant à un accroissement constant à chaque opération, et infiniment petit du premier ordre, de la variable dont elle dépend, est un infiniment petit d'un ordre égal au nombre de ces opérations.

15. Ces accroissements de différents ordres peuvent facilement être représentés géométriquement par la considération de la courbe dont x et y seraient les coordonnées,

Soient M (18. 29) un quelconque de ses points,

À — PP’ — p'p” — PP” —. r

M’, M”, M”, ete., les points de la courbe correspondants aux points P”, P”, P”, etc. En prolongeant la corde MM! jusqu'à l’ordonnée suivante en 1, on aurait, en menant

MH, M’, etc., parallèles à AX, MH—4, IH —=NWH.

Mais MH n’est autre chose que l'accroissement de yen partant de x+ L; donc il est ce que devient quand on ÿ change x en ++, et, par conséquent, M'H'—M'H où —IM" sera l'accroissement de k, que nous avons désigné par k..

Si l’on prolongeait maintenant M'M jusqu'à l’ordonnée suivante, on aurait une ligne correspondante à IM”, qui serait la valeur de k,, dans laquelle on changerait x en x + h, puisqu'on ferait les mêmes opérations en partant de M”, que l’on avait faites en partant de M. On aurat donc l'accroissement de k, ou Æ,, en retranchant ces

deux lignes en les aflectant du signe convenable, et l’on formerait ainsi les accroissements des divers ordres successifs.

On pourrait prendre une autre représentation géométrique d’une fonction et de ses différences successives k,k, k:,...: par exemple, supposer que x représente la longueur de l’arc d’une courbe et y le rayon vecteur correspondant, ou l’inclinaison de la tangente, ou toute autre grandeur dépendante de la longueur x de l'arc; on ferait croître l'arc par degrés égaux entre eux, et l’on considérerait les valeurs correspondantes de y sur lesquelles on ferait les opérations que nous venons d'indiquer dans le système de coordonnées rectilignes; mais les représentations géométriques seraient beaucoup moins simples.

Du problème réciproque.

16. Dans ce qui précède, nous avons supposé que tous les points d’une courbe étaient donnés, soit par une équation, soit par un mode quelconque de génération , et nous nous proposions de trouver la tangente en un quelconque de ces points. On pourrait réciproquement se donner l'équation générale ou un mode de génération de toutes les tangentes à une courbe inconnue, et se proposer de déterminer le point de la courbe qui se trouve sur une quelconque de ces tangentes. Ce problème inverse se résoudra au moyen de la remarque suivante.

Le point de contact d’une tangente à une courbe quelconque est la limite de son point de rencontre avec une tangente infiniment voisine.

Soient, en effet, TMT'(/ig. 30) une tangente fixe, M son point de contact, M’ un point de la courbe, infiniment voisin de M, UM' la tangente en M' et I son point de rencontre

avec T'T, La corde MM! tend vers zéro lorsque M tend vers sa limite M, et c’est le plus grand côté du triangle MIM'; car, d’après la définition de la tangente, la sécante MM! tendant vers zéro fait avec la tangente en M ou M'un angle dont la limite est zéro; l'angle 1 opposé à MM! tend donc vers deux droits, et le côté MM, opposé au plus grand angle, est le plus grand du triangle. La distance IM, plus petite que MM’, tend donc vers zéro; et, par conséquent, le point fixe M est la limite du point de rencontre I de la tangente en M avec une tangente infiniment voisine. |

De là résulte la solution du problème, qui consiste à déduire tous les points d’une courbe de la connaissance de toutes ses tangentes. Pour cela, on considérera l'une quelconque de ces dernières, et l’on cherchera sa rencontre avec une tangente voisine d’après les équations connues de ces lignes, ou d’après la loi donnée de leur construction ; on déterminera la limite de ce point lorsque la seconde tangente s'approche indéfiniment de la première; on connaîtra ainsi le point de la courbe qui se trouve sur une tangente quelconque : le problème revient donc alors à une recherche ordinaire de lieu géométrique.

Il est bien certain que, si l’on admet qu'il y ait une courbe tangente au système des lignes données, on la trouvera par le procédé que nous venons d'indiquer. Mais, si l’existence de cette courbe n'était pas admise, il est facile de reconnaître que celle que l’on obtient sera effectivement tangente à toutes les droites du système qui auront des points communs avec elle. En effet, considérons deux de ces droites telles, que dans le passage continu de l’une à l'autre chacune rencontre toujours celle qui suit, quelque voisine qu’elle en soit; faisons passer une courbe par tous les points de rencontre successifs de chacune

LL Pocn + tit RE

d'elles et de celle qui la suit; cela peut se faire d’une infinité de manières : il suffira que la forme d’équation choisie renferme assez de constantes indéterminées. Or chaque droitetest coupée par celle qui la précède et par celle qui la suit en deux points qui sont d’autant plus près du point du lieu limite, que les droites sont plus voisines; la distance de ces deux points ou la corde interceptée par la droite dans la courbe variable peut donc devenir moindre que toute grandeur donnée, et, par conséquent, les droites du système sont aussi voisines qu'on voudra d’être tangentes à la courbe variable. Donc enfin la limite de cette dernière , ou le lieu des points limites est tangent à toutes les droites.

Cette proposition est un cas particulier d’une plus générale que nous traiterons avec plus de détail par la suite.