APPLICATION DES MÉTHODES PRÉCÉDENTES A QUELQUES EXEMPLES

77. Parabole.— En la rapportant à son axe et à la tangente au sommet, son équation est

la valeur de la sous-tangente TP ( fig. 31) a pour expression, d’après la formule générale,

h TP =ylhim: =.

A AS PS à ct - s Pour trouver lim. Fe il faut exprimer que l'équation de

la courbe est satisfaite par x + h, y + k, ainsi que par æx,7Yy3 ce qui donne

P=ape, (y+)=2ple+), et, en retranchant les termes égaux 4

2 4ÿ + #7 = 2ph.

Divisant par #, il vient

en prenant les limites des deux membres

+” Ag, 27 = 2p lim, + d’où lim. 5 =

Donc ‘

La sous-tangente est donc double de l'abscisse du point de contact; ce qui donne une construction très-simple de la tangente. |

Si au lieu de la sous-tangente on cherche l'angle MTX , on aura

ANR tang MTX — hi. ee Fi De sorte que si l’on prend PN = p, l'angle cherché sera égal à PMN; la tangente sera donc perpendiculaire à MN. Cette dernière ligne est donc la normale, et la sous-normale est constante et égale à p; ce qui donne une construction simple de la normale et, par suite, de la tangente.

18. Supposons maintenant la parabole rapportée à sa directrice et son foyer F, Les coordonnées seront un rayon vecteur et une abscisse, et l'équation sera

hote He pe Le

On aura alors k—hA. et en prenant deux quantités égales quelconques PH, MQ , et élevant en H et Q des . perpendiculaires à AX, FQ, on aura un point $ de la tangente. On voit que la ligne MS partage en deux parties égales l'angle de FQ avec une parallèle MI à l'axe, vu l'égalité des deux triangles SMQ, SMI. Cette propriété

donne une autre construction fort simple de la tangente.