Ellipse et hyperbole. — L’ellipse rapportée à ses

axes a pour équation a?y°? + b'x?— u? b’.

à | ne k Pour avoir la limite du rapport j? on remplacera x (4

et y par x +h, y +, et, en retranchant les deux

équations, on aura 2ayk + ak+ 2bxh + b'h = 0,

et, en divisant par k, (ea: y+ak)T + 207x + b'h=—o.

Prenant les limites de tous les termes, on aura, d’après le principe fondamental des limites,

2a?y lim SA 2 bats h TE

d'où L ke rt an SR a eye tango, w désignant l’angle de la tangente avec l’axe des x. Le même calcul, fait en partant de: l'équation de

l'hyperbole a° y — b° x? = — a? b°, donnerait évidemment bx tango — —.

or

80. Considérons maintenant l'ellipse rapportée à ses deux foyers; son équation sera

PES T+TrT = 24, et l’on aura 4 ax ce h.

Si donc on prend sur FM prolongé ( fig. 32) une quantité arbitraire MH; que de M vers F’ on prenne une quantité égale MK ; qu'en H et K on élève des perpendiculaires à FM, F'M, et qu’on joigne leur point de rencontre S au point M, on aura la tangente à l’ellipse:

Il est évident qu’elle partage l’angle HMF’ des rayons

vecteurs en deux parties égales.

S'il s'agissait d’une hyperbole, on aurait Mot 20, Ah,

on devrait donc alors porter au delà de M une longueur MK! = MH et élever en H et K’ des perpendiculaires aux rayons vecteurs, puis joindre leur point de rencontre S/ au point donné M, et l’on aurait la tangente. On voit qu'elle divise l’angle HMK” en deux parties égales.

81. Exemple de coordonnées angulaires. — Considérons maintenant le système de coordonnées où un point M (fig. 33) est déterminé par les angles &, 6, que les droites menées de ce point à deux points fixes A, B forment avec AB, et prenons l'équation simple

xa+6—a,

qui représente un segment capable du supplément de a, et décrit sur la corde AB. On aura alors

et l’on devra prendre (n° 67) deux longueurs MP, MI, ÿ MP sin MB ;

telles que Mn — eue — ya” de construire sur elles un parallélogramme MPSI ; la diagonale MS sera la tangente. Or les deux triangles AMB, MIS, ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels, sont semblables: d'où il suit que l'angle IMS est égal à &, et que MSI ou TMA est égal à 6.

La tangente fait donc avec chacun des côtés MA, MB un angle égal à celui que l’autre fait avec la base AB, comme cela est évident par la mesure des angles.