Spirale d’'Archimède. — Soient OX (fig. 34) la

direction à partir de laquelle on compte les angles 8; O le

pôle, M un point quelconque de la courbe, OM = 7, et a une ligne donnée; l’équation de cette courbe est

l'angle OMT de la tangente avec OM est donné par la formule générale

tango — r lim. -:

Or, d’après l'équation de la spirale, on a

RIT GRS

donc, w étant OMT,

tang OMT — 7 —< 0:

Si l’on mène la normale MN et la perpendiculaire NOT à OM, les lignes OT, ON sont, dans le système des coordonnées polaires, la sous-tangente et la sous-normale : dans le cas actuel, on aura

ee

OM OT = rtans OMT = 70 ONE

OT æee | « fà

La sous-normale est donc constante, ce qui donne une construction bien simple de la normale et, par suite, de la tangente. e

Le rayon vecteur OM augmentant indéfiniment avec 6, et ON restant constant, l’angle OMN tend vers zéro; le rayon vecteur tend donc indéfiniment à être perpendiculaire à la tangente, sans le devenir jamais.

Archimède, au lieu de la sous-normale, avait cherché la sous-tangenie; il avait démontré que sa longueur étail« égale à l’arc de cercle MR décrit de O comme centre avec OM pour rayon, et terminé à l'axe OX, ce qui n'est autre chose que rô, comme nous l'avons trouvé.

Ne + 4 x

83. Spirale logarithmique. — L'équation de cette spirale est, en désignant par m une ligne donnée, et par a un nombre que nous supposerons plus grand que l’unité,