TRIO

En considérant les valeurs négatives de 0 comme devant ètre portées en sens contraire des positives, on a une infinité de spires convergeant vers le point À (fig. 35), qu'on nomme pour cela asymptotique. Les valeurs posiives de 0 donnent une infinité de spires qui s agrandissent indéfiniment. Pour avoir l’angle AMT de la tangente avec le rayon vecteur AM, il faut chercher la limite du rapport des accroissements k et L de r'et 4, et diviser r par cette limite.

Or on a

et nous avons fait voir (n° 36) que la limite d’une expres-

à bu— 1 : log b sion de la forme ———; lorsque u tend vers zéro, est : 7 log e d .. ah— 1 loga al Il en résulte que im. —— — — la, en désignant par le log e

la caractéristique / les logarithmes pris dans la base de

Te , VE G] Néper; et, par conséquent , lim. > na le

On aura donc

tang AMT — r :

ainsi tous les rayons partant de À sont égalemenñt inciinés sur la spirale.

Exemple où l’on n'emploie pas l'équation de la courbe

84. Cycloïde.— D’après la génération de cette courbe, nous avons vu (n° 37) qu'il fallait, pour en avoir un

point quelconque M (fig. 11), prendre à parür de son ori-! gine À une longueur arbitraire AT, tracer le cercle générateur tangent en T à l’axe AB et prendre l’arc TM égal à AT.Ces deux lignes ATet TM constituent bien un système de coordonnées, dans le sens le plus général du mot, et l'équation de la courbe serait TM = AT ; mais les équations seraient si compliquées en l’employant pour d’autres courbes, que nous n’avons pas dü le considérer dans les méthodes générales exposées précédemment.

Nous avons vu encore que, pour passer du point M à un autre point M’, il suffisait de prendre sur le cercle TM un arc MI, mener par I une parallèle à AB et prendre IM = MI.

Cela posé, menons les cordes MI, MM; la tangente en M à la cycloïde sera la limite de la direction MM'; et la limite de la direction MI sera la tangente au cercle TM. Mais dans le triangle MIM, le rapport des sinus des

/ angles en M,M' est celui des côtés MI, IM ou a et la limite de ce dernier ne sera pas changée si l’on remplace la corde MI par l'arc de cercle sous-tendu, dont le rap-

arcMI donc la limite du rapport des sinus de M et M'est 1, et par conséquent les limites des sinus sont égales; et comme l'angle I de ce triangle a pour limite celui de la tangente en M au cercle avec MR, il en résulte que les limites des deux angles M, M’ sont égales à la moitié du supplément de ce dernier, ou à l’angle UMQ. Donc MU

est la tangente, et MT la normale.

port à la corde a pour limite l'unité. Mais

85. Conchoïde. — Supposons que d’un point donné"A (J18. 36) on mène à un point quelconque M d’une courbe donnée une droite sur laquelle on porte une longueur

END dr ir LU

constante MN, on formera une nouvelle courbe; on propose de lui mener la tangente NU en un point quelconque N, connaissant la tangente MT au point correspondant M de la première. ‘

Soient M’, N’ deux points correspondants des deux courbes , infiniment voisins de M et N ; il s’agit d’avoir la limite de la direction de la droite NN; décrivons de A

comme centre les arcs MH, NK ; comme NT N'= MN; on aura HM/— KN'. Dans ee A rectilignes M M H, NN'K, les angles H, K ont pour None des angles ne l'angle M' a pour limite TMA , N'a pour limite UNA , et c'est ce dernier qu il faut déterminer.

Or on a

sin N’ NK sin M’ MH SnN KN° snM HM'°

d’où

sinN’ sinM' —— ; —— :: NK : MH :: AN : AM, sinN sinM

et passant aux limites, tang UNA : tang TMA :: AN : AM.

Connaissant tang UNA , on construira facilement la tangente NU.

Lorsque la courbe donnée se réduit à une TR droite XY, la seconde devient celle qu’on appelle conchoïde, imaginée par Nicomède pour la construction du problème des deux moyennes proportionnelles. Dans ce cas, l’angle TMA (fig. 37) est XMA, et sa tangente est AB BM précédente devient alors

5° AB étant perpendiculaire sur XY. La proportion