M'AM: = :: P'P : AC :: MI: AC

Or MI — MM sin MM, inM' AM MENT AM PS, sin AM'M

116 | IAVRE I.

donc MI AMsinM'MI sin MAM sin AMM

Prenons les limites des deux membres. On pourra, sans changer celle du premier, remplacer le sinus par l’angle, et, d’après la première proportion, on trouve pour AC

, 2 résultat

T Désignons par © la limite de l’angle M’MH, celle de AM'M sera PMN — w, et l’on aura

sin © 2 AC

sin (PMN —w) rAM

Cette équation donne immédiatement la valeur de tang w. Mais elle fournit aussi une construction simple de la tangente, puisque cette ligne divise l’angle connu PMN en deux parties dont le rapport des sinus est connu et égal à celui du cercle au quart de sa circonférence. Il suffit de déterminer un point dans cet angle tel, que le rapport des perpendiculaires abaissées de ce point sur les deux côtés de l'angle soit celui de deux lignes données, ce qui n'offre aucune dificulté.

La solution de ce problème dépend, comme on le voit, du rapport de la circonférence au diamètre, ou de la quadrature du cercle.

Lorsque le rayon AN a décrit un angle Re il est évident que le point M se trouve en C ; l’angle PMN devient droit et l’équation ci-dessus devient

Lang © — —»

ce qui donne Îa direction de la tangente en C. Si l’on voulait connaître la position de M au moment

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 17 du départ, où les deux droites mobiles se confondent avec AB, il faudrait chercher la limite de AM quand l'angle NAB tendrait vers zéro. Or on a, pour un point quelconque du lieu, en désignant l’angle NAB par 8 et AM par 7,

T sin 0

We, 2 AC La limite de r est donc ; et, portant cette valeur

de À en S, le point S appartiendra à la cyssoïde.

Exemples de la détermination des points d'une courbe par ses tangentes.

88. 1‘ Exempze. — On donne deux points fixes B, C (fig. 40) sur deux droites indéfinies AX, AY. Une droite MN se meut de manière que l’on ait constamment la proportion BM : MA :: AN : NC. Trouver la courbe à laquelle elle est constamment tangente.

Pour cela on cherchera :

1°. La limite du point de rencontre d’une quelconque de ces droites avec les droites infiniment voisines;

2°. Le lieu de ces points limites, pour toutes les posi-

tions de MN.

1°, Soient DZ ADR Dj AN —u,; AM— p, on aura, pour toutes les positions de MN :

b—p:viiu:a—u, d'où a+ bu — ab, et pour la position M'N’, on aura

a(o—MM)+ b(u + NN')= ab;

d’où résulte MM. 6

b.NN'— aM'M — Lt a oO ou NN ;.

et le point O, limite de O, sera déterminé par la li-

: 10 t MO mite du rapport a | Si par M’ on mène une droite M'I parallèle à AX, la

limite de 1Q sérä précisément la même que celle de D ON ON

où x: €t l’on aura cette suite d’égalités 10 MI MI MM «b ON NN MM NN va Donc MO’ bu NO’ &

2°. Les coordonnées x, y du point O’ ainsi déterminé, satisferont aux proportions suivantes :

Lu x22bUE CR?