HO

que 57? il suffit de connaître cette dernière qui est la

même , d’après les triangles semblables, que celle du rap= port des cordes M'H, NK. Or ce dernier est facile à obtenir au moyen des triangles rectilignes infiniment petits

Di: na

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 121 MM'H, NN/K. Si l’on désigne leurs angles par la lettre

du sommet , on aura

MH smM NK sin N’ MH sioM” KN sinN d’où sin M sin N’.

MH:NK ::——,: —:.

sinM'°sinN Mais les angles H et K ayant pour limite des angles droits, les limites de leurs angles aigus sont complémentaires. Ainsi la limite de M’ est le complément de M; d’ailleurs la imite de N’ est MNA ; donc la limite de N sera complément de MNA. De sorte qu'en égalant les limites dés rapports de la dernière proportion, on aura M'H tang M

ne M; UNK tangMNA

donc MI AN IN AM

Ceci donne une construction facile du point I; car si on abaisse de À une perpendiculaire AP sur MN, le rap-

port des deux segments NP, PM étant se sera égal à AM

MI ; pu < Par conséquent, NI — MP; le point P détermine

donc immédiatement le point I du lieu cherché. + #4 e° ” LA L'équation précédente donne, en remarquant que

AN + AM = m° et MI + IN = mm,

d’où il est facile de déduire les SprAPRDERS x, y du point M,carona

donc

et l'on aura l’équation entre x, y en éliminant AM, AN

entre ces deux équations et la suivante AM + AN = m°. On trouve immédiatement

+ y = im, qui est l'équation du lieu demandé.

92. Il peut se faire que les considérations géométriques soient moins commodes que le calcul algébrique , et voici la marche qu'il faut suivre alors.

L'équation générale des droites données renferme un paramètre qui change de l’une à l’autre. Soit & ce paramètre; cette équation sera donc de la forme

Y=axF(a)+/f(a),

F et f désignant des fonctions connues.

Changeant a en a+h, on aura l’équation d'une droite voisine, qui sera

y=axF(a+h)+f(a+h);

l’abscisse du point de rencontre sera donc donnée par l’équation suivante :

xz{F(a+h)—F(a)]+f(a+h) — f\8)=0;

Il faut maintenant faire tendre vers zéro et chercher

la limite de x; ce sera l'abscisse du point cherché, et l'équation de la droite fera connaître par suite l'ordonnée.

Mais si on laissait l'équation sous cette forme, elle n'apprendrait rien en prenant les limites de ces deux membres , puisqu'on ne trouverait autre chose que o — 0. Le plus ordinairement il est facile de voir les réductions qui s’opèrent par les soustractions indiquées, et on reconnaît un facteur commun À à tous les termes ; en le supprimant et passant aux limites des deux membres, 6n obtient alors la valeur limite de x. Maïs rien n'est plus facile que de formuler le résultat en général. En effet, si l’on divise par 2 tous les termes de la dernière équation, et qu'on prenne ensuite les limites, on trouvera, d’après la définition de la notation des dérivées des fonctions,

xzF'(a)+f'(a) =

Cette équation jointe à la premièrey = xF (a) +F(a), détermine les deux coordonnées du point du lieu, et équation du lieu lui-même résultera de l'élimination de a entre ces deux équations. Si, pour la facilité des calculs, on né réduisait pas à l'unité le coeficient de y, on aurait trois fonctions de a au lieu de deux, et l’on procéderait d’une manière tout à fait semblable.

Prenons , par exemple, le cas traité précédemment, où les droites mobiles jouissent de la propriété de déterminer sur les côtés d’un angle YAX des segments dont la somme soit égale à une constante a.

Si l’on désigne par & le segment de l’axe des x, Pautre sera a — « , et l'équation générale des droites

ay +(a—a)x—=a(a— x);

changeant & en à + h , il vient, en retranchant les deux équations membre à membre,

YhR—= xh=ahk— 2h — h?,

sn

ou, en divisant par k, Y—x=a—2a— he

Cette équation, conjointement avec la première, détermine le point de rencontre qui varie avec k. On aura sa limite en supposant À—0o; ce qui réduit là seconde équation à

et l’on voit que c’est comme si l’on avait pris les dérivées par rapport à & de tous les termes de la première.

L'élimination du paramètre « entre ces deux équations donne l'équation suivante :

(a+ x—y) —=4ax,

qui est celle du lieu et coïncide avec celle qui a été trouvée dans le second exemple. Nous généraliserons ces théories par la suite; nous nous écarterions de notre objet en nous y arrêtant plus longtemps.

-— "#2 00 ee —

AE 75.) ” à