DE LA LONGUEUR DES LIGNES COURBES, ET DE L’AIRE DES SURFACES COURBES

93. Longueur des courbes. — La notion de longueur est une de celles qui ne sont pas susceptibles de définition; mais, comme nous avons déjà eu plusieurs fois occasion de le dire, ce qu’il est toujours indispensable de définir, c’est l'égalité et l’addition des quantités que l’on considère, sans quoi elles ne pourraient donner lieu à aucune comparaison ni raisonnement précis.

L'égalité en géométrie se définit par la possibilité de la coïncidence. Il n’y a donc aucune difiiculté à se faire idée de droites égales ou d’ares égaux dans des cercles de même rayon. L’addition se faisant en portant les lignes à la suite les unes des autres dans des directions arbitraires, on conçoit ce que c’est qu'une ligne brisée double, triple d’une autre, et en général dans un rapport quelconque avec une autre ligne droite ou brisée. Il en est de même pour les arcs de cercles de même rayon, comparés entre eux. | 1

Maïs quand il s’agit de lignes courbes quelconques, égalité ne peut plus exister; la superposition étant impossible, il peut tout au plus y avoir équivalence. Mais qu'est-ce que deux arcs équivalents; et en particulier qu'est-ce que la longueur d’un arc de courbe rapportée à une ligne droite? La définition générale au moyen de laquelle la notion de longueur est ramenée au cas de la ligne droite, est la suivante :

La longueur d’un arc de courbe est la limite vers

laquelle tend le périmètre d’un polygone inscrit dans cet arc, et dont les côtés tendent indéfiniment vers zéro. |

Mais il faut démontrer que cette limite existe et est unique, quelle que soit la loi suivant laquelle les côtés de ce polygone tendent vers zéro. Nous pouvons supposer que l’arc soit convexe dans toute son étendue, c’est-à-dire ne puisse être coupé par une droite en plus de deux points. S’il en était autrement, on le partagerait en plusieurs parties séparément convexes : il en sera de même des polygones inscrits. Cette condition n’est nullement indispensable, mais elle facilite les raisonnements.

Cela posé, concevons d’abord qu'il n’y ait que deux cordes inscrites dans l’arc convexe que l’on considère ; puis inscrivons-en deux dans chacune des deux subdivisions de cet arc, et de même deux dans chacune des nouvelles subdivisions, et ainsi de suite indéfiniment, de sorte que le nombre des côtés soit exprimé par la formule 2", n croissant indéfiniment. Le périmètre croîtra con stamment; et comme on peut facilement assigner une quantité finie au-dessous de laquelle il reste toujours, äl tendra évidemment vers une certaine limite. Il reste à démontrer que tout autre mode de division de l’are condui-= rait à la même limite.

Considérons, en effet, deux polygones inscrits ayant les côtés extrêmement petits, l’un appartenant à la série que nous venons de désigner, et le second corresponglant à toute autre loi d'inscription ; menons des ordonnées par tous les sommets de l’un et de l’autre : les deux périmètres seront partagés par ces ordonnées en un même nombre de parties, et celles qui sont comprises entre deux ordonnées consécutives ont un rapport d'autant plus près de l'unité; que les côtés seront plus petits; car leurs directions difés reront infiniment peu de celle de la tangente voisine. D'où

RRErTEST

ri = AT a Sn Achoet

il suit que le rapport des deux périmètres tend indéfiniment vers l’unité à mesure que les côtés tendent vers zéro. La limite obtenue par le premier mode de subdivision est donc la même que pour tout autre.

Il est bon d'observer qu'on trouverait encore la même limite si les sommets du polygone n'étaient pas sur la courbe même, mais en étaient infiniment voisins, et que les côtés eussent toujours pour limites de leurs directions celles des tangentes aux points infiniment voisins. On pourrait encore considérer des polygones circonscrits à la courbe; on pourrait même prendre une suite de lignes séparées les unes des autres. Imaginons, par exemple, des parallèles qui coupent l'arc de courbe et soient infiniment voisines les unes des autres; si par chaque point de division on mène une tangente, la suite discontinue des portions de ces tangentes comprises entre le point de contact et la parallèle voisine aura, d’après les raisonnements précédents, la même limite que le périmètre inscrit. Ce procédé a été employé par Fermat. On trouverait encore bien d’autres manières de parvenir à la même limite par des sommes de lignes droites; la seule condition nécessaire est que ces sommes et les périmètres inscrits se composent d'éléments correspondants dont le rapport ait l’unité pour limite.

Remarque. — Zout polygone circonscrit à un arc de courbe convexe est plus grand que cet arc. Car si entre deux points de contact consécutifs quelconques on mène une tangente, il en résultera un polygone circonscrit d’un périmètre moindre que le précédent. En agissant de même pour ce nouveau polygone, et ainsi de suite indéfiniment, le périmètre de ces polygones va toujours en diminuant et a pour limite la longueur de l’arc. Donc cette longueur est moindre que celle du polygone circonscrit quelconque d'où lon était parti. Un raisonnement analogue prouve

que la longueur de l'arc est plus grande que celle de tout polygone inscrit.

Il résulte de là que tout arc convexe est moindre qu’une ligne quelconque qui l'enveloppe, en partant des mêmes extrémités. Il suffit en effet de concevoir un polygone circonscrit au premier arc et ayant les côtés assez peits pour n'avoir aucun point commun avec le second et un polygone inscrit à celui-ci et qui enveloppe le premier. Ce dernier sera moindre que celui qui l'enveloppe, comme on le prouve dans la géométrie élémentaire; donc; à plus forte raison, l’arc inscrit sera moindre que l’arc circonscrit au plus grand polygone.

On verrait de la mème manière qu'une courbe convexe fermée est moindre que toute ligne qui l'enveloppe.

Voici encore une remarque qui n'est pas sans utilité. Soient AB ( fig. 43) un arc convexe quelconque, AC une droite menée de l'extrémité À et ayant même projection AP sur une ligne AU. Si toutes les tangentes de A en B forment avec AU des angles aigus plus petits que CAU; la longueur AC sera plus grande que celle de l’arc AB: En effet, si l’on conçoit un polygone circonscrit à AB et dont les points de contact extrèmes soient A et B, il sera plus grand que l’arc; mais il sera plus petit que AC, car si par tous les sommets on mène des parallèles à PBC; les parties de AC comprises entre ces parallèles seront plus grandes que les côtés correspondants du polygone qui font avec AU des angles aigus plus petits; la ligne AC est donc plus grande que l’arc AB.

On verrait semblablement que si les tangentes en tous les points de À en B, font avec AU des angles aigus plus grands que CAU, la droite AC’ sera plus petite que l’arc AB. Car on pourrait inscrire dans l’arc un polygone dont les côtés auraient des directions assez voisines de celles des tangenies pour que leurs angles avec AU fussent

plus grands que C'AU. Ce polygone serait alors plus gfand que AC, et, à plus forte raison, l'arc AB le serait

aussi.

9%, Aire des surfaces courbes. — Nous appellerons aire d'une portion de surface courbe, la limite vers laquelle tend celle d’un polyèdre inscrit dont les faces sont infiniment petites dans tous les sens.

Il est encore nécessaire de démontrer que cette limite existe, et est unique quelle que soit la figure des faces du polyèdre et la loi de leur décroissement.

Pour cela, il faut admetire la notion du plan tangent à une surface. On démontre dans la géométrie élémentaire que toutes les tangentes à une surface, menées par un quelconque de ses points, sont dans un même plan, et, par suite, que si par ce point et deux autres infiniment voisins pris sur la surface et non en ligne droite avec lui, on fait passer un plan, ce plan tend vers une limite déterminée à mesure que les deux points variables se rap-prochent du premier; ce plan limite qui contient deux tangentes, et qui, par conséquent, ne diffère pas de celui qui est le lieu de toutes les tangentes, est ce qu’on nomme le plan tangent. Au reste, nous reviendrons plus tard sur ce point.

Cela posé, concevons Ton polyèdres inscrits dont les faces aient des dimensions infiniment petites, l’un faisant partie de la première série de faces triangulaires, l’autre d'une série arbitraire. Si par tous les côtés de ces deux polyèdres on abaisse des plans perpendiculaires sur un mème plan fixe, les faces se trouveront décomposées en parties planes ayant des projections égales sur le plan fixe et qui seront, par conséquent, entre elles en raison inverse des cosinus des angles que leurs plans forment avec le plan de projection. Mais ces plans font un très-

petit angle entre eux, puisqu'ils ont des directions trèsvoisines de celle d’un même plan tangent , et la limite de leur angle est zéro; donc la limite du rapport de deux parties correspondantes quelconques des deux surfaces polyédriques est l'unité; donc si l’une des surfaces tend vers une limite, l’autre tendra vers la même.

95. Les mêmes raisonnements prouveraient que l'aire d’un polyèdre circonscrit dont les faces ont des dimensions tendant vers zéro a la même limite que les polyèdres inscrits. Et il n’est pas même nécessaire qu'il y ait continuité dans sa surface; on pourrait, par exemple, concevoir deux séries de plans parallèles infiniment voisins partageant la surface en parties infiniment petites dans tous les sens, puis par un point pris dans chacune de ces parties mener un plan tangent terminé aux quatre plans entre lesquels se trouve le point de contact. La surface discontinue formée par l’ensemble de ces parallélogrammes tangents aurait encore la mème limite que toutes les précédentes, et l’on pourrait encore varier beaucoup la loi de ces surfaces sans cesser de trouver pour Himite l'aire de la surface. és

Il suffit donc de démontrer qu'au moyen de l’un de ces procédés, et en suivant une loi particulière, choisie à volonté, on tendrait vers une limite déterminée , pour qu'il soit établi que tout autre procédé et toute autre loi donneraient la même limite. Or c'est ce qu'il est facile de faire voir.

En effet, concevons un plan tel, qu’en y projetant la surface donnée il ne se trouve pas deux de ses points ayant «mème projection, ce qui est toujours possible en partageant, s’il le faut, cette surface en plusieurs portions. Sup posons ensuite une série de plans parallèles entre eux, perpendiculaires au premier et distanis les uns des autres

CR

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 131 d’une quantité infiniment petite «, puis une seconde série de plans parallèles, distants les uns des autres d’une quantité infiniment petite 6, perpendiculaires au premier plan de projection ainsi qu'à ceux de la première série.

. La surface se trouvera décomposée en parties dont la pro-

jéction sera égale à «6; et si en un point d’une de ces parties on mène le plan tangent et qu'on désigne par w lPangle qu'il fait avec le plan de projection, la partie de ce plan comprise entre les quatre plans infiniment voi-

sins qui partent de la base a6 aura pour mesure COS w

Elle sera donc égale au volume d’un parallélipipède qui

aurait même base «6 et pour hauteur . Si donc à

chaque point de la surface on fait correspondre sur la même ligne projetante un point ayant pour ordonnée

1 Sr Z—= » On engendrera ainsi une seconde surface dont COS w

la projection sera terminée au même contour. Le volume compris entre cette surface et le cylindre qui a pour base sa projection est, comme nous l'avons vu, la limite de la somme des parallélipipèdes z «6 , dont les bases 6 sont prises dans toute l'étendue de la base du cylindre; ce volume peut donc être représenté par lim 2%, cette somme n'étant autre que celle qui se rapporte aux aires des parallélogrammes situés dans les plans tangenis à la surface. Donc enfin celle-ci a une limite, comme nous

nous proposions de le démontrer.

La définition que nous avons donnée de l’aire des surfaces courbes est donc indépendante de toute loi d’inscription ou de circonscription des faces planes, et conduit à une valeur unique et déterminée, exprimable en unités de surfaces comme les surfaces planes elles-mêmes.

* H est bon de remarquer qu’on trouverait encore la même limite si, au lieu de s’assüjettir à prendre des faces planes, on prenait des surfaces courbes variables telles, que, pour les points situés sur une même ligne perpendi-

culaire au plan fixe de projection, les plans tangents à ces :

surfaces et à la proposée fissent entre eux des angles infiniment petits. Car les faces planes qu’on circonserirait à ces surfaces, auraient un rapport aussi près de l'unité qu'on voudrait avec les parties de ces surfaces et de la proposée , correspondantes à la même projection sur le plan fixe : on trouverait donc encore la même limite pour leur somme.

Enfin on reconnaitrait d’une manière analogue à ce qui à été fait pour les courbes, que toute surface convexe est plus petite qu’une surface qui l'enveloppe de toutes

parts, ou qui l’enveloppe et est terminée au même con-.

tour.

Et de même une surface courbe est moindre qu'une surface plane ayant même projection orthogonale sur un plan, et faisant avec ce plan un angle aigu plus grand que

tous ceux que font avec lui les plans tangents à la surface”

en tous ses poinis. L'inverse aurait lieu si tous ces derniers angles étaient au contraire plus grands que le premier.