Arcs infiniment petits. — Un arc qui tend vers

zéro finit généralement par être constamment convexe; il est donc plus petit que la somme des tangentes menées à ses extrémités, et terminées à leur point de rencontre : d’ailleurs, il est plus grand que sa corde. Si donc on

prouve que le rapport de cette corde à la somme des tan=

gentes a pour limite l'unité, il en sera de même à plus forte raison du rapport de l’une ou l’autre de ces deux der= mères quantités à la longueur de l’are. Or, si du point de

rencontre on abaisse une perpendiculaire sur la corde, le rapport de chacun de ses segments à la tangente correspondante étant le cosinus d’un angle infiniment petit, a pour limite l'unité. Il en est donc de même de la corde entière à la somme des tangentes. Donc,

On peut substituer à un arc infiniment petit d une courbe quelconque, sa corde ou la somme des tangentes ä ses extrémités, toutes les fois que cet arc est un terme d'un rapport ou d'une somme dont on cherche la limile.

On peut encore substituer à l’arc une seule tangente

à une de ses extrémités, pourvu qu'elle soit terminée

à une droite passant par l’autre extrémité, et faisant avec la tangente un angle fini quelconque : car cette tangente et la corde étant les deux côtés d’un triangle, et comprenant un angle qui tend vers zéro, sont dans le rapport des sinus de deux angles finis qui tendent à être supplémentaires ; la limite de leur rapport est donc celui de deux sinus finis égaux, c'est-à-dire l’unité. |

97. Ares de cycloïde. — Donnons un exemple simple de l'application de ces principes; et proposons-nous de mesurer un arc de eycloïde. Nous avons vu que la tangente au point M (fig. r1) est MU; soient 4 l'angle qu’elle fait avec DA’ et MK — y. La partie de tangente comprise entre les deux ordonnées infiniment voisines MK, MK!

sera égale à

cos & Or on a

D Var LANG = —— — Nr V2a— y a.

Pour rentrer dans les procédés emplo yés précédemment

il faut introduire, au lieu de MH, la différence MH de deux y consécutifs. Le triangle MM’H donne

MH = M'H iang MM'H ;

et comme la corde MW fait un angle infiniment petit avec la tangente, l’angle MMH diffère infiniment peu du complément de &, et tang MM’H de cota. Si donc on remplace MH par M'H cotæ, on ne l'aura altéré que d’une quantité infiniment petite par rapport à lui-

f Pr,

même; il en sera donc de même pour » et la limite

COS & de la somme ne sera pas changée.

D'après les équations ci-dessus, on aura M’'H V 20 —Y ———

M'H cotax —

qui, divisée par cosæ, donne M'H ÿ2a vr

et l'arc, pris, par exemple, depuis le sommet D, sera la limite de la somme des expressions de cette forme dans

lesquelles y passera par degrés infiniment petits M'H,«

de zéro à l’ordonnée de l’extrémité de l'arc à mesurer. Supposons que M soit cette extrémité; on aura done

DM — lim. V2a>M'H,»°7

et, d’après une formule déjà plusieurs fois appliquée, on aura, en désignant par à l’ordonnée de l’extrémité M,

DM — 2 ÿ2ab — 2MU.

Lorsque le point M sera en À, on aura MU = 24, et par

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 13 conséquent AD = 4 a, et la longueur de la cycloïde entière

ADB sera Ba. .

98. Surfaces infiniment petites. — Si l'on considère une surface courbe infiniment petite dans tous les sens et que, par tous les points de son contour, on mêne des lignes perpendiculaires à un même plan, il vient d'être démontré que l’aire de cette portion de surface est moindre que celle de ja portion du plan tangent faisant le plus grand angle aigu avec le plan de projection, et plus srande que celle du plan tangent faisant le plus petit angle, ces portions de plan étant déterminées par le cylindre projetant. Or ces deux aires planes, élant dans

le rapport inverse des cosinus des angles que les deux plans tangenis forment avec le plan de projection, ont pour limite de leur rapport l'unité; donc on peut prendre l’une ou l’autre, ou toute intermédiaire au lieu de l'aire de la surface infiniment petite, pourvu qu'elle soit un terme d'un rapport ou d’une somme dont on cherche ‘la limite.

99. Application à une surface de révolution. — On coupera cette surface par des plans infiniment voisins perpendiculaires à l’axe, et à chacune des parües comprises entre deux plans consécutifs, on substituera la surface du tronc de cône engendré par la portion de tangente à la courbe génératrice, comprise entre les mêmes plans : cette substitution est permise d’après les principes précédents, parce que les plans tangents à ces deux surfaces, aux points ayant même projection, font toujours entre eux des angles infiniment petits. La surface du ironc de cône est le produit du côté par la circonférence décrite par son milieu; mais la limite de la somme ne sera pas altérée en prenant, au lieu du milieu, le point de contact lui-même qui en est infiniment voisin.

Si donc on désigne par A l'aire cherchée, par y lor-. donnée de la courbe génératrice, par rt la partie de la. tangente comprise entre deux ordonnées infiniment voisines, On aura | | |

=,2r m.>zys. ”

Prenons pour exemple la cycloïde tournant autour de la tangente DA’. Nous avons trouvé tout à l’heure que la valeur de rt pouvait être considérée comme égale à

MHV22. Ar ho one YA à une quantité pres infiniment petite par rapy

port à 7; donc on aura dans ce cas, en partant du sommet D, :

ÉLEOUES, or V2ay EE

A=27x lim. >V2aVy.MH— = 7j Vrar,

y désignant l’ordonnée de l’extrémité de l’arc générateur.