CHAPITRE XVI

REMARQUES ET THÉORÈMES PROPRES A FACILITER L'EMPLOI DES INFINIMENT PETITS.

106. Des termes que l’on peut négliger dans les équations. — Lorsque les deux membres d’une équation ont des limites finies et que ce sont ces limites que l’on a

. à considérer, on peut évidemment se dispenser de tenir compte des termes dont la limite est zéro, quoiqu'en les supprimant l’équation devienne inexacte. Comme on ne cherche que l'équation aux limites et qu’elle n’est pas altérée par là, les résultats sont exactement les mêmes, et l’on s'est débarrassé quelquefois d’une multitude de termes très-compliqués. Ainsi toute suppression ou altération quelconque qui n’a d'autre effet que de faire négliger des termes infiniment petits dans une équation finale dont les deux membres ont des limites finies, peut étre faite sans aucune erreur dans les résultats.

107. Si les membres d’une équation avaient des limites égales à zéro, et se composaient d’infiniment petits de différents ordres , par exemple du premier et d'ordres supérieurs, on peut, par la même raison, se borner à écrire les termes du premier ordre. En effet, une équation dont les deux membres ont pour limite zéro n’est pas destinée à rester sous cette forme, puisqu'elle conduirait à l'égalité insignifiante o — 0. On conserve souvent cette forme pour la commodité de l’écriture, mais on doit toujours en revenir aux quantités finies. Si c’est en divisant les

deux membres par un infiniment petit du premier ordre, les termes d'ordre supérieur au premier conduiront à la limite zéro, ceux du premier à des limites finies, et lon. « se retrouve dans le cas précédent. Si cette équation est { employée pour donner l’expression d’un infiniment petit y au moyen des autres,.et que cet infiniment petit doive ù ètre un terme d’un rapport ou d'une somme dont on: cherche la limite, on sait qu'on peut laltérer, sans erreur

dans les résultats, de quantités infiniment petites par rap= port à lui-même. On a donc le droit de négliger, dans! l'équation d’où l’on tire sa valeur, tous les termes d'un ordre supérieur au sien.

Il est évident que dans cette même équation on peut," au lieu des facteurs infiniment petiis du premier ordre | sübstituer d’autres quantités dont le rapport avec eux aït pour limite l'unité, ou en diffèrent de quantités infiniment petites par rapport à eux; Car ce n’est qu ajouter ou sup= primer dans les RTL de l’équation des termes d’ ordre supérieur au premier.

Ces raisonnements s'appliquent également aux. équaë tions dont l’ordre le moins élevé est supérieur au premier. | On peut généralement se dispenser d'écrire ceux d'un ordre plus élevé que le moindre. !

Remarque. — Il y a cependant une attention à soi il peut arriver que dans une équation non simplifiée“ily ait des termes du premier ordre et d'ordres supérieurs, et qu'après avoir exécuté les opérations indiquées ceux du premier ordre se détruisent entre eux. Dans ce cas, Si l’on a négligé des termes du second ordre, et que pour | ployer l'équation résultante on divise ses deux termes EL un infiniment peut du second ordre, afin de ne pas arrive à o — 0; ou que l’on tire de cette équation la valeur d'ub\ nee petit du second ordre, qui doit entrer comme terme d'un rapport ayant une Hit Res il est évident

que les résultats sont inexacts, puisque les termes supprimés y auraient introduit des quantités finies.

Si, par exemple , on avait l'équation suivante, dans laquelle 2 et À désignent des quantités infiniment petites du premier ordre,

sin {x + À) — sin x + cos(y + #)— cos > + À sin y — À cos x + A4? + BA4 +CA = 0,

et que dans les calculs précédents on eût négligé des termes qui feraient disparaître A°?, il y aurait erreur dans les résultats si l’on se servait de cette équation pour en tirer la valeur de 2 ou de k et la substituer dans une autre. Cela tient à ce que, non-seulement les quantités finies disparaissent de l’équation , mais en groupant convenablement les termes on reconnaît que tous les termes sont du second ordre et que, par conséquent, on n'avait pas le droit de négliger A #?.

En effet, sin (t +A)— sin x — 2sin : cos (< 4 :) »

PE) cos y — — 2 sin - sin (rx +2):

donc

3 ? À RE” 4 h sin ta de h) — SINT — À COSx — 2 Sin — COS [2 + —|— }cosx. 2 >

: . EC h .

Mais, puisque sin 5 tt = ont pour limite de leur rs rapport l'unité, leur différence est infiniment petite par rapport à l’un quelconque des deux ; donc, en désignant par & une quantité infiniment pelite, on a

se 2 Sn — = — -+ oh, 2 34 ? | ? > , 8 »1 7 et, d'après ce qu'on a vu dans la trigonométrie élémen- 12 10

taire, w est du second ordre; de plus, cos | x + n

diffère de cos x d'une quantité infiniment petite du premier ordre, d’après le théorème général (n° 74); en la désignant par &, on peut poser

( h COSIT+-|—= COS Ta AE

donc

“ l h h211° 2 sin — cos [x + —) — 2 |—-+wh)(cosx +a) 2 2 2 — h cos x + 2wh cos x + ha + 2whx.

En en retranchant 2 cos x, il reste donc des produits de deux ou de trois infiniment petits, dont le plus grand” est du second ordre. Il en serait de même de l’ensemble des trois termes

cos (y + #)— cos y + À sin y.

Le premier membre de l’équation pouvant ainsi être considéré comme composé de termes du second ordre etu d'ordres supérieurs, si l’on néglige des termes du second ordre, qu'on divise ensuite par h?, ou par tout autre infiniment petit du second ordre, et qu'on passe aux limites, on aura une équation fausse, puisqu'il manquera: des termes finis. Et, par la même raison , on n’aurait pu l’employer à donner la valeur d’une des quantités qui y

entrent.

Triangles infiniment petits.

108. 1°. Supposons un triangle ABC dont les 1rois angles tendent vers les limites «, 6, y et les trois côtés a, b, c vers zéro. Les rapports des côtés auront pour limites les rapports des sinus des angles &, 6, y.

Ainsi, par exemple, on a les équations exactes

a sin À dre 7 sin & — = — s him. -— — SE 20 b sin B b sin 6

Mais il n'y a aucun inconvéuient à écrire

a sin «& Sin. & 4 = e 9 b sin 5 sin 6

si à est un terme d'un rapport ou d’une somme ‘doni

Pl à ee on cherche la limite; car 7 ayant pour limite 4

difière d'une quantité infiniment petite w et l’on a sin b sin «

= -— +o OÙ 4 = ——— + bu.

b sin 6 sin 6 .

b sin « -9s On

Ainsi en prenant, au lieu de a, la partie

néglige une quantité infiniment petite par rapport à 4, ce qui, dans la question supposée, ne donnera aucune erreur dans les résultats.

Or il y a souvent beaucoup d'avantage à introduire ainsi les angles limites aux angles variables, comme nous le verrons par quelques exemples.

2%: Dans un triangle ABC dont l’angle A tend vers un angle droit et les côtés vers zéro, on peut calculer le côté € par la formule à

== 0220 ct, au lieu de la formule exacte a = D? + € — 9 bccos À.

Car cos À tend vers zéro, donc 2 bc cos À est infiniment petit par rapport à 20c, et, à plus forte raison, par rapport à 0° + c?, qui est toujours plus grand que 2bc.

Ainsi a° diffère de b? + c? d’une quantité infiniment

petite par rapport a lui-même ; ou encore b2 et map

a pour limite l’unité.

a VUE Le ainsi que toutes les puissances de ce rapport.

D'où il suit que a aussi pour limite l'unité,

On pourra donc substituer Vb? + c? à a toutes lés fois que cette quantité sera un terme d'un rapport ou d'une somme dont on n’a à considérer que la limite.

109. Ordre infinitésimal de diverses lignes qu'on a souvent à considérer dans un triangle rectangle inftniment petit.

Soient À ( fig. 45) l'angle droit du triangle ABC, dont le côté AB ou c est infiniment petit du premier ordre, ainsi que l’angle B; AI la perpendiculaire abaïssée de A sur l’hypoténuse. On aura

AC = ctangB, Al—csnB, Ci —csin BtangB,

et comme sin B et tang B sont du même ordre que B, puisque leur rapport à B a une limite non-seulement finie, mais encore égale à l’unité, il en résulte que AG et AT sont infiniment petits du second ordre, et IC du troisième, |

Calculons maintenant la différence de l’hypoténuse au côté adjacent à l’angle infiniment petit,

a — - cos B cos B . B . 1 0 . . L et comme sin — est du premier ordre, ainsi que c, il s’en-

suit que BC — BA est du troisième.

Le segment CL étant aussi du troisième, on peut,se proposer de trouver la limite de son rapport à BC — BA:

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 149 D'après les formules précédentes, ce rapport a pour vain° B ! Lo F leur — . Mais la limite ne sera pas changée en sub- 2 Sin? — stituant à chacun de ces sinus l'arc correspondant dont le rapport à ce sinus est l'unité; on trouve ainsi 2 pour

LR I limite de Mn de sorte que si l’on FETE de B comme

CH centre À arc AH, FA tend indéfiniment vers = et le point

H peut être regardé comme le milieu de CI, à une quantité près infiniment petite par rapport à CE

110. Triangle infiniment petit ayant un côté infintment petit par rapport à un autre. —Soit BC (fig.46) infiniment petit par rapport à AB; en abaïissant BI perpen-

: à BI ; ï BC diculaire sur AC, Ag 24 Sin À sera plus petit que PA

qui, par hypothèse, est infiniment petit; il en sera donc de même de sin À, et par suite de l'angle A.

AC: :, ; à Rue Quant au rapport LR 1] a nécessairement pour limite

l'unité, puisque la différence de ses deux termes est moindre que le troisième côté BC, ei que, par hypothèse, ce dernier est infiniment petit par rapport à l’un des deux.

Corozraire. — L’angle CAB ayant pour limite zéro, il s ensuit que si l’un de ses côtés tend vers une direction limite, soit que À reste fixe , soit qu’il se déplace, l’autre aura pour limite la même direction.

Et plus généralement, si par un mouvement Re que, deux points A etB (fig. 47) se rapprochent indéfiniment l'un de l’autre, de manière que la direction AB tende à être parallèle à une certaine droite fixe; que l’on con sidère deux points A’, B! dont les distances respectives à

À et B soient infiniment petites par rapport à AB : la direction A’B'tendra vers la même limite que AB. En effet,

il a été prouvé que l’angle B'AB à pour limite zéro, puis- !

pero . É que -ÿ estinfiniment petit; que,de plus, == a pour li- ; SORTE dette A'A .- : :

mite l’unité. De là résulte que —= est infiniment petit,

AB’ f

puisque , par hypothèse, ses l’est; donc l’augle A’B'A

AB estinfiniment petit : donc, enfin, les droites A'B’, AB font entre elles un angle dont la limite est zéro, et par conséquent leurs directions ont la même limite. Cette proposition a des applications assez fréquentes.

111. Triangle ayant deux angles infiniment petits du MA A $ P premier ordre. — Soient À et B ( fig. 48) les deux angles infiniment peuts ; abaissons CI perpendiculaire sur AB; et cherchons d’abord quelle serait la limite de la position du point C, qui est la même évidemment que celle du point [, si on laissait AB invariable pendant que

les angles tendraient vers zéro.

Or on a AI tang B.

IB tang A° done H AIS ang B ï B Im. TB — 11m. tang À — Hhm. A

Si donc on connaît la limite du rapport des deux angles infiniment petits du même ordre, on aura la limite du sommet C, en partageant AB en raison inverse des angles en À et B.

Supposons maintenant que le côté AB soit lui-même infiniment petit du premier ordre, et proposons -nous d'évaluer la différence entre sa longueur et la somme des deux autres côtés.

PPT TT Et LL +1 ; L]

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 151 Or on a is À SI 2 AI sin? — 2 BI sin? — 2 j 32 2 et BC— BI = = ——, cos À cos B

et la somme de ces deux différences est la différence cherchée. Mais chacune d’elles est un infiniment petit du troisième ordre au moins, puisque AÏ et BI sont moin-

’ e LA:

dres que AB qui est du premier ordre, et que sin” et

Pa D | À ; sin = sont du second ordre. On peut même dire qu'elles e l

sont précisément du troisième ordre toutes deux, dans le cas supposé où À et B sont du même ordre; car alors les deux segments AT et IB sont dans un rapport fini avec AB, et sont par conséquent du premier ordre. 12 résulte de là que la différence entre AB et AC + CBest ur infiniment petit du troisième ordre au moins.

Ou , en d’autres termes, cette différence esi du même ordre que le cube de Parc.

L'ordre de ceite différence s’éléverait si [es angles étaient d’un ordre plus élevé que le côté.

112. Triangle ayant un angle infiniment petit du premier ordre, compris entre deux côtés infiniment petits du premier ordre. — Soit À ( fig. 49) l'angle donné: la somme des deux autres a pour limite deux droits. On peut maintenant faire plusieurs suppositions sur les deux. côtés donnés.

Si la limite de leur rapport est finie et différente de l’unité, l'un des angles opposés tendra nécessairement vers zéro, l’autre vers deux droits. Car, sans cela, le rapport fit de leurs sinus serait nécessairement l'unité, contrairement à la supposition.

Supposons maintenant que la limite de leur : rapport soit Punité. I peut alors se présenter trois cas.

152 ELVREUE, 1°. Si leur différence est du second ordre, prenons AB'— AB; B'C sera du second ordre. Mais BB’ est du

second ordre à cause du triangle isocèle ABB’ qui donne 8 q

ur Pre BB! — 2 AB sin ji ainsi BC sera du second ordre, et le

rapport LA à une limite finie quelconque. Or l'angle B!

tend vers un angle droit; donc l’angle B'BC, et par suite C , a une limite finie qui peut être quelconque et dépend du rapport de CB’ à BB”.

2°, Supposons que leur différence soit d’un ordre compris entre 1 et 2. Alors BB/ étant du second ordre, BC d’un ordre moindre, et BC le plus grand côté du triangle BB'C, comme opposé à l’angle obtus B’; il s'ensuit que BC est du même ordre que BC, et même que leur rapport a pour limite l'unité, puisque leur différence, étant”

moindre que BB’, qui est du second ordre, est infiniment !

B petite par rapport à ces lignes mêmes. Le rapport == EC?

ayant zéro pour limite, l’angle C tendra vers zéro, et; par suite, l'angle ABC vers deux droits.

30. Soit la différence d’un ordre supérieur à 2. Alors B'C BB’ mite et l'angle ABC a la même limite que ABB’, ou un droit : il en est de mème par suite de l'angle C. |

Si l'angle A était d’un ordre quelconque "2 au lieu d’être du premier comme les côtés, il faudrait, dans ce

a pour limite zéro; donc l'angle B/ BC a zéro pour li=*

qui précède, substituer 1 + m à 2.

Remarque. — Il est bon de remarquer que dans ces trois cas, c’est-à-dire toutes les fois que le rapport des deux côtés donnés a pour limite l'unité, le troisième est infiniment petit par rapport aux deux autres.

a De

Re 47 CES