CHAPITRE XVII

COURBURE DES ARCS DE COURBES PLANES QUELCONQUES, ET DIVERSES PROPOSITIONS QUI S’Y RAPPORTENT.

113. La courbure d’un arc convexe est l’angle que forment entre elles les directions du premier et du dernier élément de cet arc; c’est l’angle des tangentes extrémes : il exprime la quantité dont la courbe a successivement dévié de la ligne droite dans l’étendue de cet arc. Si cet angle variait proportionnellement à l'arc, on aurait la courbure, pour une unité de longueur, en divisant celle d’un arc quelconque par la longueur de cet arc.

Mais dans une courbe quelconque, si l’on divise cet angle par la longueur de l’arc, on aura seulement la courbure moyenne de cet arc, rapportée à l’unité de lonsueur, c'est-à-dire celle que l’on trouverait pour un arc égal à l'unité, si la courbure variait proporüonnellement à l'arc, comme dans le cercle, et de manière à obtenir la courbure donnée pour une longueur égale à celle de l'arc dont il s’agit.

Cela posé, si, à partir d’un point quelconque d’une ligne courbe, on prend un arc de grandeur arbitraire, sa courbure moyenne variera à mesure que cet arc diminuera indéfiniment; et elle tendra vers une limite déterminée, qu on appelle courbure de la ligne au point que l'on considère. Cette limite est, pour employer le langage reçu dans le calcul infinitésimal, la courbure d’un arc infiniment petit, rapportée à l’unité de longueur, cet arc commençant au point que l’on considère. C’est une no-

tion importante dans l'étude approfondie de la constituon d’une courbe.

114. Si l’on considère l’inclinaison o de la tangente sur un axe fixe, comme une fonction de l'arc s pris a partir d’un point fixe quelconque de la courbe, la cour: bure © d’un are À n’est autre chose que l’accroissement de la fonction + correspondant à l'accroissement À de: l'arc s; on a donc

DM M étant une quantité finie dépendant de la valeur de s re= lative à la première extrémité de l'arc et de sa longueur h:

Et de même pour une fonction quelconque, si lon changeait s en s + ,, et qu'on désignât par w, laccrois= sement correspondant de w, on aurait

SihL—= Ron

5 RAM On, et il en serait de même pour les accroïssements d'ordre plus élevé, comme nous l'avons vu en général pour toutes les fonctions (n° 74).

115. Dans un cercle, la courbure d’un arc quelconqué s'obuendrait en multipliant celle d’un arc égal à l’unité par la longueur de l’arc donné. Dans une courbe quels conque , il n’en sera plus ainsi évidemment ; mais si l’on ne considère qu'un arc infiniment petit, le produit de la courbure, en une de ses extrémités, par sa longueur, en! donnera la courbure à une quantité près, infiniment pes tite par rapport à elle, puisque le rapport de la courbure exacte de cet are à l'arc même ne diffère que d'une quantité infiniment petite de la limite que nous appelons courbure en un point. De sorte que si cette courbure d'un arc infiniment petit ne doit être considérée que comme élément d'une somme dont on cherche la limite, ny

aura aucune erreur dans le résultat; et par conséquent, dans la recherche de la courbure d'un arc fini, d’une courbe quelconque, on peut agir de la même manière que si c'était un cercle, pourvu qu'on partage cet arc en parties infiniment petites , et que pour chacune d’elles on prenne pour courbure de l'unité de longueur la courbure en un quelconque de ses points.

116. Le cercle ayant une courbure constante, il est naturel de le prendre pour terme de comparaison, et de faire connaître la courbure d’une ligne en un de ses points, en donnant le rayon du cercle dont la courbure est la même. Ce cercle se nomme cercle de courbure, et son rayon, rayon de courbure. Si on le place tangentiellement à la courbe au point que l’on considère, en tournant sa concavité du même côté qu'elle, son centre, con-

sidéré relativement à ce point de la courbe, prend le nom

de centre de courbure.

La courbure d’un cercle en un de ses points, ou la courbure d’un arc de ce cercle égal à l’unité étant le rapport de l’angle de ses tangentes extrêmes ou de ses normales extrêmes à la longueur même de cet arc, sera égal l’unité divisée par le rayon du cercle, puisque nous appelons

angle le rapport de l’arc au rayon. Il s'ensuit donc que la

courbure d'une ligne quelconque, en un de ses points, est égale à l'unité divisée par lerayon de courbureen ce point.