Le centre de courbure est La limite du point de ren

contre de deux normales infiniment voisines. — Soient,

en effet, M (/ig. 50) un point quelconque d’une courbe, MP la tangente, M/N la tangente au point infiniment voisin M, O le point de rencontre des normales en M,M/. Les quatre points M, N, M, O seront sur un cercle ayant

pour diamètre NO, dont la limite est la même que celle

de MO ou M'O. L’arc de ce cercle compris entre M et M

diffère de sa corde, et, par suite, de l'arc MM’ de la | courbe, d’une quantité infiniment petite par rapportsà lui-même ; on pourra donc le remplacer par ce dernier, | sans qu'il en résulte aucune erreur dans les limites des

rapports :

Mais l’angle inscrit MOM' est égal à l’arc de cercle in- | tercepté divisé par le diamètre : il est d’ailleurs égal)

I ; er .

— —, l'arc MNM' étant celui du

TNM’

NM. RS T2 à : Donc Nr — No

cercle. Le remplaçant par l’arc MM’ de la courbe, on | IAE P : el

aura, en passant aux limites,

.. TN 1 I him qe NS De NES Er e CEE ET e T4 MM’ lim.NO lim.MO

TN ME 5 $ 3 | Mais lim. —— étant la courbure en M est égale à l'unité) 1 |

MM divisée par le rayon de courbure.

On voit donc que la limite de MO est égale au rayon de | courbure; et le centre de courbure en un point quel-| conque est la limite du point de rencontre de la normale}

en ce point avec la normale infiniment Voisine.

118. Les courbures des deux moitiés d’un arc infimi:| ment petit de premier ordre, ne peuvent différer que d'un

infiniment petit du second. — Car si h désigne la lon:

sueur de cet are et w/, w/ les eourbures des deux mois}

tiés , on aura hi wo = M-; # pr |

M étant une quantité finie. Maïs w/ n'étant autre chose}

ue la valeur que prend w’ quand on change dans M$

k . , en $+-) On aura, par ce qui précède,