AY ES @ — M

M! étant une quantité finie. On voit donc que les courbures des deux moitiés d’un arc infiniment petit du premier ordre ne peuvent différer que d’un infiniment petit du deuxième ordre.

119% La différence entre un arc infiniment petit et sa corde est du méme ordre que le cube de l’arc.— En effet, Parc étant compris entre la corde et la somme des tansentes extrêmes, diflère de l’une ou de l’autre de ces deux quantités, moins qu’elles ne diffèrent l’une de l’autre.

Or les angles de la corde avec chacune des tangentes étant moindres que celui des tangentes entre elles, lequel est du même ordre que l’arc, sont au moins de cet ordre infinitésimal. On a donc un triangle dont un côté est infiniment petit, et les angles adjacents sont du même ordre au moins que ce côté; d’où il suit (n°111) que la différence de ce côté à la somme des deux autres est au moins du même ordre que le cube du côté, ou de l’arc qui est du même ordre que le çôté. Il en est donc ainsi, à plus forte raison , de la différence de l’arc à la corde ou à la somme des tangentes. Ces différences seront du troisième ordre, si l’arc est du premier.

120. La différence d’un arc infiniment petit à la tangente menée à l’une des extrémités de l’arc et terminée à l’ordonnée menée par l’autre, est de l’ordre du carré de l’arc. |

Soit l’arc MM! ( fig. 51), MT sa tangente terminée à Pordonnée P'M'; il s’agit d'évaluer l’ordre infinitésimal de la différence entre MT et cet arc.

Remarquons d’abord en général que la portion M'T de l’ordonnée est du second ordre. Car on a la proportion

MT sinM me \ MM sin M MR ep d’où MP Meet

Mais nous avons vu que l'angle M est au moins du mème

ordre que l’arc ou la corde MM et sin T est fini; donc la partie M'T d'une sécante quelconque faisant un angle fini avec la tangente est de l’ordre du carré de MM ou de l’arc proposé.

Si maintenant on abaisse M’T perpendiculaire sur ME MI différera de l’hypoténuse MM! d’un infiniment petit de l’ordre du cube de MM’ au moins (n° 109), de plus IT est de l’ordre du carré de MM’, puisqu'on a

IT — M'TosT,

et IT, étant la différence de MT à ME, est la différence de MT à l’arc MM’ en négligeant un infiniment petit de l’ordre du cube de MM; d’où il suit, comme nous l'avons annoncé, que cette dernière différence est. de l’ordre du carré de l’arc. Elle sera donc du second ordre si l’on prend l’are du premier.

Il en serait de même pour la tangente menée au point M' et terminée à l’ordonnée MP. L'une de ces tangenteés est plus grande que l'arc, l’autre plus petite. |

121. Remarque. — On peut conclure de ce qui pré cède que les longueurs des deux normales en M, M’termi nées à leur point de rencontre O diffèrent d'une quantité qui est au moins du second ordre. Car cette différenceest la partie d’une de ces normales, comprise entre le point M! et le cercle décrit de O comme centre avec OM pour rayon. Or ce cercle étant tangent à la courbe en Mi suffit d'appliquer la proposition qui vient d’être démon: trée sur M'T. La différence des normales est doncauk moins du second ordre. Nous pourrions pousser l’apprés ciation plus loin.

On peut tirer de là une conclusion qui a quelquefois - de lPutilité dans les problèmes de géométrie : c’est qu'une courbe dont les normales passent toutes par un même point, est nécessairement un cercle. En effet, enpartæ

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 159 geant un arc fini de la courbe en parties infiniment petites du premier ordre, les accroissements successifs des normales, comptées à partir du point constant de leur rencontre, seront du second ordre, et la limite du rapport de la somme de ces accroissements à la somme des arcs sera zéro. Donc l'accroissement total de la normale est nul, ét tous les points du lieu sont également distants du point fixe. Ce lieu est donc un cercle, dont le point fixe est le centre.

122. Considérons un arc infiniment petit a, appartenant à une courbe quelconque, dont les arcs pris à partir d’une origine fixe sont désignés par s; partageons-le en parties égales «, infiniment petites du second ordre, si a est

6 é 3 ARS œ regardé comme du premier; ce qui veut dire que — tend 1 a?

vers une limite finie, lorsque a tend vers zéro. Désignons par w la courbure d’un quelconque de ces arcs «, on aura (n° 114)

o— Mae, M désignant une quantité finie.

Comparons maintenant les valeurs extrêmes vw, w/ de w. Pour avoir w' il faudra, dans M, mettre pour s la valeur correspondante à la première extrémité; pour avoir w/ il faudra changer s en s+ A, h n’étant autre chose que a — x, ei par conséquent du premier ordre. M croîtra donc d’une quantité du premier ordre, que l’on pourra désigner par M, a, M, restant fini; d'où il suit

[4 © —w —= M,coa.

Ainsi /a différence des courbures des arcs extrémes » est du troisième ordre.

193. Expression de la perpendiculaire abaissée d’une . r . ’ 9 . . CI extrémité d'un arc infiniment petit sur la tangente menée à l’autre extrémité.

Soit OB (fig. 52) la tangente à l'extrémité O de l'arc OA — a infiniment petit du premier ordre, et AB la per= pendiculaire, dont nous allons chercher l'expression en fonction de la longueur a de l’arc et de sa courbure Q,; en nous assujettissant à ne négliger que les infiniment petits du troisième ordre. Pour cela nous décomposerons a en parties égales « infiniment petites du second ordre; dont Île nombre m croîtra indéfiniment à mesure que a

endra vers zéro.

La relation 4 st f f Yo à donne

de sorte que — est infiniment petit du premier ordre, et 1n

a Ar , am où — est une quantité finic.

Cela posé, soit MN un quelconque des ares 4 qui composent OA, et correspondant à OM = 74; formons le triangle MNI au moyen de la corde MN, de la parallèle MI à OB et de la perpendiculaire NI; AB sera la somme des m valeurs que prendra NI quand 7 prendra les #2 valeurs o, 1, 2,..., (mm —1). |

C'est-à-dire que l’on aura

AB = > MN sin NMI,

cette somme se rapportant aux 72 arcs égaux qui composent OA. Remarquons d’abord que, si dans l'expression # générale de l'élément MN sin NMI, on considère un terme infiniment petit de l’ordre p, il fournira dans la sommeun terme de l’ordre p — 1. En effet, on peut le représenter par Ka”, K étant une quantité finie variable. La somme des m valeurs qu il prend est égale à la somme des facteurs a? multipliée par une moyenne K, entre les premiers fac:

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 161 teurs #, c'est-à-dire à z2K, a”. Ce qui est évidemment de l’ordre p —1, puisque ma esi une quantité finie. Procédons maintenant au calcul de la somme en question, en négligeant dans sa valeur totale les quantités infiniment petites du troisième ordre. u

Nous voyons d'abord qu'à ce degré d'approximation nous pouvons substituer l’arc & à sa corde MN, car leur différence est de l’ordre de &°; c’est-à-dire du sixième, puisque « est du second : et comme l’angle NMI est moindre que l’angle « que la tangente en M fait avec OB, augmenté de la courbure © de MN, et à plus forte raison moindre que {2 qui est du premier ordre, on voit qu'en prenant « au lieu de la corde MN, on néglige dans l'expression générale de NT une quantité du septième ordre, au moins. Or, d’après la remarque précédente, elle ne pourra donner dans la somme qu’une quantité du sixième ordre : on peut donc la négliger au degré d’approximation que nous nous sommes proposé, et prendre pour valeur

de AB l'expression > « sin NMI.

On peut encore la simplifier en remplaçant sin NMI par l’angle NMI; car leur différence étant du troisième ordre, son produit par à sera du cinquième, ce qui ne produirait sur AB qu’une erreur du quatrième. Donc nous pouvons prendre pour NT l'expression plus simple