AB

Ds... < 7: Rae

Mais on peut substituer m1 à m—1, vu qu'il n'en résulte pour AB qu’une erreur du troisième ordre : et par les mêmes raisons que précédemment, mw ne diffère de la somme des courbures w des m arcs « que d’une quantité du second ordre. Subsuütuant cette somme Q à mw/, il n'en résultera donc sur AB qu'une erreur du troisième ordre; et au degré d’approximation demandé, on aura enfin AB — ss

Ce qui donne le théorème suivant :

La perpendiculaire abaissée d’une extrémité d’un arc infiniment petit du premier ordre, sur la tangente menée à l'autre extrémité, est égale à la moitié du produit de l'arc par sa courbure, à un infiniment petit près du troisième ordre.

124. L'angle formé par la corde d’un arc infiniment petit du premier ordre, avec la tangente au milieu de cet arc, est un infiniment petit du second ordre.

Soit A A’ cet arc, O son milieu, et B'OB la tangente ; la corde AA’ fait avec BB’ un angle dont le sinus est égal à la différence des perpendiculaires AB, AB’, divisée par la corde. Soient , (/les courbures des deux moitiésOA,O A, on aura, d'après le numéro précédent, en Pen par 2a la dur de l’arc AA’,

Qa Q'a AB= —, A'B'=— —:

». 2 el, par suite, | ee AB — AB —(Q—0Q/).-

Or nous avons vu (n° 114) que la différence des courbures de deux ares égaux consécutifs, infiniment petits he

du premier ordre, est du second ; donc Q — est du second ordre; et, par suite, la différence AB — A'B' est du troisième, son rapport à AA’ est donc du second. Ainsi le sinus de l’angle de AB avec la tangente au milieu O de l'arc sous-tendu est du second ordre; et par conséquent aussi cet angle lui-même est infiniment petit du second ordre , comme nous l’avions annoncé.

425. Remarques piverses. — Les perpendiculaires AB, A'B' étant du second ordre, celle qu’on abaïsserait du milieu Ï de AA’ serait aussi du second; il en serait de même évidemment de la perpendiculaire élevée de L sur AA! et terminée à BB’, ou à la courbe : et encore de la perpendiculaire abaïssée de O sur. À A’.

Remarquons encore que dans le triangle rectangle OAB le côté OB et l'angle O étant du premier ordre, la difiérence de l’hypoténuse OA à OB sera du troisième ordre. Donc aussi la différence de l’arc OA à OB sera du troisième ordre.

— $i l’on avaiten O ( fig. 53) une seconde courbe tangente à la première et ayant même courbure en ce point, et que l'on prit un arc OA, — OA, la perpendiculaire

étant la courbure de l'arc OA, dont le rapport à Q a l’unité pour imite par hypothèse. Donc la limite du rap-

À; B, serait, au troisième ordre près, égale à

{ 9, à ” ’ . r port est l'unité, et, par conséquent, la différence

de À; B; à AB est infiniment petite par rapport à AB, et, par conséquent, d’un ordre supérieur au second.

De plus, on voit que BB, sera au moins du troisième ordre, puisque c'est la différence de OB et OB; qui différent des arcs égaux OA, OA, de quantités du troisième ordre. ITen résulte que AA, est l’hypoténuse d’un triangle dont un côté est d'un ordre supérieur au second, et l’autre

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 165 au moins du troisième, ei, par conséquent, À A, est d’un erdre supérieur au second.

l'est encore important de remarquer que la longueur d'une corde AS comprise entre deux courbes ayant même courbure en O , et dont la direction limite fait un angle fini avec la tangente commune en O, est d’un ordre supé-

rieur au second. Car on a

sin À,

sin S et comme sin S reste fini, AS est au moins du même ordre que AA.

Ainsi, par exemple, si l’on considère le cercle de courÿ 2% . .

bure d'une courbe quelconque, qu'à partir du point de contact on prenne un arc infiniment petit du premier ordre, et que de son extrémité on mène une sécante faisant un angle fini avec la tangente, la partie comprise entre les deux courbes sera d’un ordre supérieur au second.

126. Si l’on mène une tangente parallèle à la corde AA’, l'arc MT (/ig. 53) compris entre son point de contact T et le milieu M de l'arc, ayant pour courbure l'angle de ses langentes extrêmes, qui est le même que celui de la corde et de la tangente au milieu, sera infiniment petgt du second ordre, comme ce dernier ; d’où résulte cette proposition :

L’arc compris entre Le milieu d'un arc infiniment petit du premier ordre et le point de contact de la tangente parallèle à la corde de cet arc est infiniment petit du second ordre.

Si sur le milieu I de la corde AA’ (fig. 54) on élève une perpendiculaire, elle rencontre larc en un point P,

également distant de A et A. Or chacune des cordes égales AP, AP ne différant de l’are qu'elle sous-tend

que d’un infiniment petit du troisième ordre, les deux ares AP, A’P ne peuvent avoir entre eux qu'une diflérence du même ordre. Mais cette différence est le double de PM, puisque M est le milieu de l’are entier : done MP est infiniment petit du troisième ordre. i

Ainsi :

MT est infiniment petit du second ordre;

MP est du troisième;

et, par suite, TP est du second.

127. Si l’on joint le point I aux points M, T, et qu'on mène les cordes PM, TP, la première sera du troisième ordre et la seconde du second, comme leurs ares respectifs.

Or nous avons vu que IP est du second : donc l’angle PIM est infiniment petit (n° 110). Mais dans fe triangle TIP les côtés TP, PT étant du mème ordre, le rapport des sinus des angles opposés a une limite finie, et, par conséquent, ces deux sinus ont des limites finies ou tendent tous deux vers zéro. Or ce dernier cas ne peut arriver : car il faudrait pour cela que le troisième angle en P tendit vers deux droits ou vers zéro, ce qui n’est pas, puisque la direction TP est infiniment voisine de celle de la tangente en M, et, par conséquent, de celle de AA’, à laquelle IP est perpendiculaire ; donc l'angle TIP a une limite finie

Ainsi, en joignant le milieu de la corde au milieu de l'arc et au point où la tangente est parallèle à la corde, on a deux directions, dont la première à une limite perpendiculaire à la corde, et la seconde, oblique.

128. Les angles formés par les tangentes aux extrémités d'un arc infiniment petit avec sa corde, peuvent étre regardés comme égaux, et les tangentes comme égales, en négligeant les infiniment petits du second ordre.

Soient À A’ (fig. 5) un arc infiniment petit du pre-

mier ordre; AV, AV ses tangentes extrêmes, dont l'angle