FRE

méme degré d ’approxima tion.

5 vs CE

extérieur V mesure la courbure de l’arc AA’. La tangente merée au milieu M de cet arc fait avec AV, A’ V des angles MEV, MT'V égaux, au second ordre près, comme mesurant les courbures des arcs égaux AM , A'M (n° 118). Or ces deux angles diffèrent des angles respectifs A, A! de l'angle même des deux droites TT’, AA’, lequel est du second ordre. Donc, comme nous l’avions annoncé, les angles des tangentes extrémes avec la corde sont égaux à unwnfiniment petit près du second ordre, et donnent la mesure de la demi-courbure de l'arc, à ce

Cela posé, il est facile de prouver qu'il en est de même des côtés AV, A’V du triangle AV A’. En effet, on a A'V sinA AV snA’”

PE sin À et comme la limite de

t| ème que celle de a Cst la même q * de —

qui est égale à l'unité, il en résulte A'V AV

lim.

Il est facile d’ailleurs d'apprécier l’ordre de la différence AV — AV. En efet, l’équation précédente donne

> sn (8 À + À ANS AV sinA—sinA’ 2 ie 2 AV gr sin A’ LS sin À’

ce qui est une quantité infiniment petite du premier ordre,

x Le A! 4 TE ; puisque (=) est du second et sin A’ du premier. Le

IV — AV | l'apport —— étant du premier ordre, AV — AV est du second.

Donc les longueurs des tan gentes extrémes sont égales, au second ordre près.

168 LIVRE f.

129. Les angles inscrits dans un, segment dont l'arc est tnfiniment petit du premier ordre, sont égaux, au second ordre près.

Soient l'arc AA (fig. 56) et un angle inscrit quelconque AMA'. Si l’on mène la tangente TMT', l'angle UMA’ sera partagé en deux angles, doni l’un mesure la demi-courbure de AM et l’autre celle de AM. Donc l'angle UMA’ peut étre regardé comme constant et égal à la demi-courbure de AA, au second ordre près.

L’angle inscrit AMA’ est donc aussi constant, au second ordre près.s

130. Sisur deux courbes tangentes on prend, à partir du point de contact, des arcs infiniment petits égaux, la droite qui joint leurs extrémités a pour direction limite celle de la normale commune.

Soient M ( fig. 57) le point de contact, MM’=MM,, et supposons d’abord que les deux courbes soient de côtés différents de la tangente commune. Dans le triangle recüligne MM'M,, la différence des côtés MM’, MM, que nous considérerons comme infiniment petits du premier ordre, est du troisième ordre, puisque les arcs sont égaux; de plus, l'angle compris M étant la somme de ceux que chaque corde fait avec la tangente, est aussi du premier ordre (n° 128). Donc les limites des angles M, M, sont des angles droits (n° 112), et comme les directions des côtés MM”, MM, ont pour limite celle de la tangente en M, il en résulte que la limite de la direction de M'M, est celle de la normale au point M.

Mais si les courbures étaient dans le même sens, les deux arcs MM’, MM, seraient du même côté de la tangenie, et l’angle M serait la différence des deux angles du. premier ordre que les cordes font avec la tangente commune. Cet angle pourrait donc être d’un ordre supérieur

Mn vob sr + CSS ARE PL 4 A +" j

au premier, et nous ne serions plus dans les conditions du n° 112. Or nous avons démontré que ces angles ne diffèrent des moitiés des courbures des arcs, que de quantités du secondordre. Si donc les courbures des deux courbes en M sont différentes, ce qui est le cas général , les deux angles qui mesurent les courbures des ares MM’, MM, diffèrent d’une quantité du même ordre que ces arcs, puisque les limites des rapports de ces angles à la longueur de l'arc sont inégales. Ainsi, en laissant de côté les points particuliers où la courbure est la même, l’angle M sera toujours du premier ordre, et, par suite, les angles M”, M; ont pour limites des angles droits. Donc généralement /a limite de la direction M'M, est celle de la normale commune.

Exemples de la détermination des centres de courbure.

131. Cycloide. — Soit T (fig. 58) le point de contact du cerele générateur correspondant au point quelconque M de la cycloïde. Nous savons qu’en prenant sur le cercle un arc infiniment petit MI, menant IM parallèle à AB et égal à MI; puis prenant TT'— MI—IM/, le point M’ appartient à la eycloïde, et T” est le point de contact correspondant du cercle générateur avec la base.

Cela posé, MT, M'T’ sont deux normales infiniment voisines, et la limite de leur point de rencontre N est, d’après ce qui précède, le centre de courbure de la ceycloïde, correspondant au point M.

Or, si l’on joint IT et qu’on mène MK parallèle à AB, on aura HK = TT”, et on reconnait facilement que le rapport de MF à MI et, par suite, à T'T’tend vers l'unité; car, dans le triangle recuiligne MI, les deux angles I et H ont une mème limite finie. En effet, la corde MI a pour direction limite celle de la tangente MU au cercle, et la

direction IHT a pour limite celle de MT; donc l'angle 1 du triangle a pour limite TMU. L’angle H du même, triangle, ou son égal THK, a évidemment pour limite TMK. Or cet angle est égal à TMU, puisque, d’après les propriétés connues du cercle, MT est la bissectrice de UMK ; donc la limite du rapport des côtés MH, MI est l’unité. Il en est donc de même de la limite du rapport

de MH à l'arc MI, ou à son égal TT”. Donc la hmite du

x MK est 2. Mais le rapport —— est constamment

MK rapport TT

TT’ r , MN trs :

égal à Rae Donc la limite de MN est 2MT , et on aura le centre de courbure O en prenant TO = TM.

Ainsi dans la cycloïde le rayon de courbure est double de la normale.

132. Ellipse rapportée à ses foyers. — Soient F, FE" (fig. 59) les deux foyers, a, b les deux demi-axes, d, d’ les rayons vecteurs d’un point quelconque M de l'ellipse, M' un second point infiniment voisin de M, MO’, M'O' les bissectrices des angles F°MF, FM'F, qui

seront les normales en M, M’. Le rayon de courbure en M LA

AL

gr” Puisque l'angle O’des nor-

sera la limite du rapport

males est égal à celui des tangentes aux extrémités de l’are MM’. |

Comme nous n’avons en vue qu'une limite de rap= ports, nous pourrons, d'après les remarques faites précédemment (n° 107), remplacer les quantités infiniment petites par d’autres, dont le rapport avec elles aura l'unité pour limite, et écrire, comme si elles étaient exactes,

les équations où elles entreront. Nous avons démontré MM’

que le résultat cherché lim. er

n’en sera aucunement

altéré. Nous donnons ainsi un premier exemple de ce

moyen si commode de simplification. Rien ne sera plus facile, au reste, que de faire les mêmes calculs en conservant, comme nous l’avons fait jusqu'ici, l'exactitude absolue des équations.

Les deux triangles FMI, O'IM' ayant un angle égal, la somme des deux autres est la même de part et d’autre; d'où, en désignant par F’ l'angle infiniment petit MF°M”, par & l'angle donné F’Mw, et de même par F et w les angles MFM, F°M'0,

O'— EF’ = wo — vw), et de même

O'—EF— 0) — w ; d’où, en ajoutant, 20° —=F + F”,

Ainsi, en désignant par R le rayon de courbure cher-

ché, on aura Rein er ME .

Nous allons calculer les angles F, F’ dans les triangles EFMM', F'MM, en les substituant à leurs sinus; nous substituerons de même l'arc MM! à sa corde, nous substituerons à la direction de la corde MM! celle de la tangente en M, et aux angles des rayons vecteurs avec MM les limites de ces angles , e’est-à-dire le complément de w. Les valeurs de F, F’ ainsi calculées ne difléreront des véritables que de quantités infiniment petites par rapport à elles-mêmes, et, par conséquent, la limite du rapport