MM’ LE

fr Me sera pas altérée.

Nous trouverons de cette manière

, MM'coso , MM'cosv

Co NE D STATE EE

d’où AUS PQ BE A F + FE’ = MM’ cosw (; % > F) dd’ É

et, par suite,

ù ! 4 R — ÿ ; «a COS oc) À b ; Or on sait que cosw — NA et que la longueur #7 de la normale MN a pour expression b n—= — V99

D'où résulte

ou, en désignant par p le demi-paramètre,

me:

Cette formule s'applique également à l’hyperbole et à Ja parabole.

133. Cette formule donne pour la valeur de R une construction facile; mais on en obtient encore une plus simple en remarquant que la première valeur de R donne pour projection du rayon de courbure sur le rayon vecteur F/M, la valeur suivante :

LA R cos —= —.

Or, en divisant les valeurs de z et cosw, on obüent

a cos ©

n'est autre chose que la longueur MH obtenue en

et

cos wo élevant NH perpendiculaire sur la normale. Le point H est donc la projection de l'extrémité du rayon de courbure ou du centre de courbure. Elevant donc en H une perpendiculaire sur le rayon vecteur F°M, sa rencontre GC avec la normale sera le centre de courbure.

134. Spirale logarithmique. — Soïent M, M (fig. 60) deux points infiniment voisins, A le pôle, MO, M'O les - deux normales en M, M’; il s’agit de trouver la limite du point O: Les rayons vecteurs AM, AM’ étant, comme nous l’avons vu, également inclinés sur les normales correspondantes, les angles A et O sont égaux, et les quatre points À, M, M’, O sont sur un mème cercle. Maïs lorsque M’ tend vers M, ce cercle tend à devenir tangent à la spirale en M, puisque la sécante commune MM! tend vers la tangente à la spirale; donc ce cercle à la limite a pour normale MO : son centre est donc sur MO; la imite C de O ou le centre de courbure est donc l'extrémité du diamètre de ce cercle dont M est l’autre extrémité. L’angle MAC est donc droit, et on a le centre de courbure en élevant en À une perpendiculaire au

rayon vecteur, en cherchant sa rencontre avec la normale.