DÉVELOPPÉES DES COURBES PLANES

135. Si, sur chacune des normales à ure courbe plane quelconque, on considère le centre de courbure correspon: dant, qui est la limite de la rencontre de cette normale avec une normale infiniment voisine, on obtiendra pour lieu de ces centres une courbe tangente à toutes les normales (n° 76). Cette courbe se nomme la développée de la première, et celle-ci s'appelle la développante de l’autre. Les développées jouissent d’une propriété remar= quable, à laquelle elles doivent leur nom, et que nous allons faire connaître.

Soient M (fig. 61) un point quelconque d’une courbe; MO sa normale, O le centre de courbure, M'un point de la courbe distant de M d’une quantité infiniment petite du premier ordre, O’ le centre de courbure correspon= dant; les deux droites MO, M'O seront tangentes à la développée aux points O et O’. Or, comme la longueur MO du rayon de courbure dépend de la position de M, ou de la longueur de l'arc de la courbe donnée, compté à partir d’une origine quelconque sur la courbes on peut regarder MO comme une fonction de l’are ; ainsi, d’après un principe posé précédemment, l’accroissement infiniment petit de MO, ou la différence M'O'— MO sera généralement de même ordre que MM”; et de même l’ac croissement OO’ de l'arc de la développée sera de l’ordre MM, puisque l’arc de la développée est aussi une fone tion de celui de la proposée.

Maintenant il est facile de reconnaître que la longueur de Pare O0, et la différence des deux rayons de courbure

ef PE OR PER PAPE s À [1 Le ls

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 179 MO , M'O!ne peuvent différer que d’une quantité infiniment petite par rapport à elles-mèmes.

En eflet, élevons en M et O des perpendiculaires à MO, qui rencontrent la normale M'O’ en T et H. La partie LM” est d’un ordre supérieur au premier, puisque MP est tangente et que la direction HT n’a pas pour limite celle de la tangente (n° 120). De plus la longueur HT ayant MO pour projection sur la normale avec laquelle sa direcuon fait un angle infiniment petit du premier ordre, la différence entre OM et HT sera infiniment petite du second ordre. Donc la différence entre M'H et MO sera infiniment petite d’un ordre supérieur au premier, puisqu 11 en est ainsi de la partie TM”, dont nous n’avons pas cherché à préciser exactement l’ordre.

Il suit de là que la différence entre M'O'’ et MO sera HO, à une quantité près d’un ordre supérieur au premier. Or l'arc OO’ et la tangente O'H à la développée ont une différence du second ordre (n° 120) : donc enfin O0’ et M'O/— MO ne peuvent avoir qu'une différence infiniment petite par rapport à elles-mêmes ; et, par conséquent, si l’on considère la somme d’ares infiniment petits OO” formant un arc fini déterminé de la développée, cet arc sera égal à la limite de la somme des accroissements successifs des rayons de courbure. Et, comme cette somme d'accroissements n’est autre chose que l’aceroissement total, ou la différence des rayons de courbure extrêmes, on arrive à cette conclusion : Un arc fini de la développée d'une courbe quelconque est égal à la différence des deux rayons de courbure de cette courbe, correspondants aux deux extrémités de cet arc. Et cette proposition s'appliquant à toutes les grandeurs des arcs de la développée, s'applique évidemment aux ares infiniment petits ; d'où l’on voit que la différence entre OO’ et MPO'— MO, que nous avions démontrée être d’un ordre

176 LIVRE 1. 0 supérieur au premier, était rigoureusement égale à zéro:

136. Il suit de ce qui précède que, si l’on suppose un fil flexible et inextensible appliqué sur la développée jusqu’à un certain point quelconque, à partir duquel il s’en sépare tangentiellement et se prolonge jusqu’au point où il coupera la courbe proposée; qu’ensuite on développen la partie enroulée, en tenant toujours le fil tendu, son extrémité sera toujours sur la courbe donnée. Car l’ac= croissement de la partie rectiligne du fil tangent sera toujours égal à l’arc de la développée compris entre deux points de contact, ou à la différence des rayons de cour: bure correspondants; donc la partie rectiligne sera tou: jours la longueur même du rayon de courbure, et, par suite, l'extrémité sera toujours sur la courbe donnée. Le lieu des centres de courbure d’une courbe peut donc ser“ vir à décrire cette courbe par son développement en ligne droite, et c'est de là que lui vient le nom de développée

137. Développée de la cycloïide. — Soient M un point quelconque de la cycloïde (fig. 62), MN Ia normale, NMD

le cercle générateur, R le rayon de courbure, on a R;=2 MN

on aura donc le centre de courbure O, relatif au point M; en prenant NO = MN. Mais si au milieu 1 de la base on élève la perpendiculaire IB égale au diamètre 2 a du cercle générateur, et qu'on mène en B une parallèle BV à la base, le cercle décrit sur la perpendiculaire NC comme diamètre passera par O : l'arc NO sera donc égal à l’are MN du cercle NMD , et, par suite, à la ligne AN. Donc OC = NI — BC. Donc le point O appartient à la cycloïde décrite par un point d’un cercle ayant 2 a pour rayonle point B pour origine, et BV pour base.

La développée de la cycloïde AEA se compose done de deux demi-cycloïdes AB, AB, identiques avec læ&

DES QUANTATÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 10 première, et dont le prolongement se rapporterait aux branches suivantes de celle-ci.

438. La différence de deux rayons de courbure étant égale à Pare de la développée, compris entre les deux points de contact, et le rayon de courbure de AEA’ étant nulau point À , la ligne MO est égale à l'arc AO. Donc dans toute cycloïde AOB, l’arc compris entre le sommet À etu» point quelconque O est double de la corde NO du cercle générateur NOC qui passe en ee point; propositon déjà démontrée précédemment par d’autres considéralions.

Ainsi, en revenant à la cycloïde primitive, on aurait

ME — 2MD, et, par conséquent, AB — da lTetu AA’ — Ga.

St l'on fait 2a— y = y’, c'est-à-dire si l’on compte les y’ à partir de E, dans le sens ET, et que l’on pose ENIE="Ss on aura

Ho nr

‘Felle est l'équation de la cycloïde entre l’ordonnée et l’are , comptés à partir de son sommet.

159. Développée de la parabole. — Soïent l'équation Y® = 2px (fig. 63), M un point quelconque de la parabole, MN la normale, O le centre de courbure ; on aura, d'après une formule donnée Pete ie

mo =" .

Soient x, y les coordonnées de M; >, 6 celles de O, et l'angle de MO avec la parallèle MT à l’axe des y; on

aura MN—(y714+pt}, 7 —6— MO cos ®, & — x = MOsinw, ) tango =T, CDS TG Pr Y VI? + p° Van pt

Ts 12

On tire.de là CA TC RE EN

Entre ces deux équations et celle de la parabole y? = 2px, si l'on élimine x et y, on aura l’équation du lieu des points O ou la développée. On trouve ainsi

pri Rex (& —- Pie 27 P

On peut remarquer que l'équation précédente

— 3x + p indique une construction fort simple du centre de courbure O. Car l’abscisse OP de ce point étant égale à 3x + p,on a NP — 2x. Il suffit donc de mener la normale indéfinie MN, de prendre NP double de l’abscisse du point donné M et d'élever en P une perpendiculaire à l’axe. Sa rencontre avec la normale donnera le centre de courbure.

140. Développée de la spirale logarithmique.— Nous avons trouvé que le centre de courbure € de cette courbe est le point de rencontre de la normale et de la perpendiculaire menée par le pôle au rayon vecteur ( fig. 60). Le rapport de AC à AM étant constant, puisque les angles du triangle AMC sont constants, il s'ensuit que deux rayons vecteurs quelconques de la développée seront dans le même rapport que deux rayons vecteurs quelconques de la spirale, faisant entre eux le même angle que les deux autres: Si donc on fait tourner la développée autour de A, jusqu’à ce qu’un de ses points soit sur la spirale, toutes les autres y seront de mème et: les deux courbes coïncideront. La développée de la spirale logarithmique n’est done autre chose que cette spi rale même qui a tourné d’un certain angle autour du

pôle.