CENTRE INSTANTANÉ DE ROTATION

141. Lorsque l’on considère sur un plan fixe une figure invariable qui se déplace d’une manière continue, suivant une loi quelconque, un point quelconque appartenant à cette figure ou lié invariablement à elle, décrit une courbe dépendante de cette loi, et dont les géomètres du xvn° siècle ont étudié un cas particulier. Leurs recherches ont fait faire des progrès à la géométrie, et le problème qui en a été l’occasion a conservé beaucoup de célébrité. Ils supposaient une courbe roulant sans glisser sur une autre supposée fixe, et ils se sont d’abord proposé de mener la tangente à la courbe décrite par un point lié à celle qui se déplace. Le premier cas qu’ils ont étudié est celui du roulement d’un cercle sur une droite ; un point du cercle même décrit la courbe que nous avons nommée cycloide, et qu'on a d’abord appelée roulette.

Nous ne nous proposons pas de faire connaitre les diflérents procédés employés dans cette recherche; nous pous bornerons à la méthode donnée par Descartes, comme la plus simple et la plus générale.

Concevons d’abord , au lieu de deux courbes, deux po- Iygones ayant leurs côtés respectivement égaux , dont l’un soit fixe ct l’autre se meuve de manière que les côtés égaux

s'appliquent successivement les uns sur les autres: Un point lié au polygone mobile décrira une suite d’ares dé cercles doni les centres seront les sommets successifs du polygone fixe, et, par conséquent, la normale à l’un quelconque de ces arcs passera par le sommet commun aux deux polygones. Si maintenant on suppose que les côtés des polygones diminuent indéfiniment, de manière que ces polygones tendent à se confondre avec les courbes données, cette propriété de la normale en un point quelconque subsistant toujours, quelle que soit la petitesse des côtés, elle aura encore lieu pour la courbe limite de l’ensemble des arcs de cercle, c’est-à-dire pour celle que décrit le point lié à la courbe mobile. Donc on aura la normale en un point quelconque de ce lieu, en le joignant au point de contact correspondant des deux courbes. La tangente sera la perpendiculaire à cette ligne.

Telle est la méthode de Descaries. Elle s'applique à des courbes quelconques.

Mais on risquerait de se tromper si on Îa suivait trop loin, par exemple pour la détermination dela courbure; et il faut y regarder de très-près pour reconnaître que ce qui suflit pour la tangente, est insuflisant pour la courbure. C’est pourquoi nous allons reprendre la solution en mettant plus de rigueur dans les raisonnements.

142. Soient LL’ ( fig. 64) la courbe fixé; SS' la courbe mobile; M le point de contaci pour une position quel= conque de SS'; A la position correspondante du point lié à SS/, et qui décrit la courbe en question.

Prenons sur les deux courbes données deux arcs infin# ment petits égaux MM, MM, ; les points M’, M; seront coïncidents quand le point de contact des deux courbes sera M, puisque, d’après la définition du roulement sans glis= sement, les arcs qui séparent des points de contact corres-

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 181 pondants, pris su les deux courbes , doivent ètre égaux. Pour amener le système mobile dans la position qu'il aura alors, on peut le faire mouvoir d'abord de manière que tous les points décrivent des droites égales et parallèles à MM, , ce qui amènera M'en M, ; puis, laissant le point M’ fixe en M,, faire tourner le système autour de ce point, de manière que la tangente en M’ coïncide avec celle en M. Dans ce dernier mouvement toutes les droites s’inclineront, sur leur première direction, d’un angle égal à celui des tangentes en M’ et M,, c'est-à-dire de la somme ou de la différence des courbures des deux arcs MM’, MM,, suivant que ces courburestseront de sens contraire ou de mème sens. Si donc nous menons AA’ égal et parallèle à MM, et que de M, comme cenire, avec un rayon égal à AM, qui n’est autre chose que AM, nous décrivions un are de cercle A’A,, tel que l'angle AM, A, soit égal à celui des tangentes en M’ et M, ; À, sera la position exacte de A, correspondante au contact en M, : AA, sera donc la sécante au lieu décrit par A et la limite de sa direction sera la tangente cherchée.

Or les deux côtés MM’, MM, du triangle rectiligne MMM, ayant pour limite de leur rapport l'unité, et comprenant un angle infiniment petit, le troisième côté MM, est infiniment peut par rapport aux deux autres. De plus, l'angle des tangentes en M”, M, est généralement du premier ordre, mème lorsque les courbures sont de mème sens. Son égal A’M, À, sera donc du premier ordre, et il en sera de même de la droite A’ A,, puisque AM, a une longueur finie. Donc dans le triangle AA’ A,, le cdté AA° est infiniment petit par rapport à À’ A, ; par conséquent, l'angle A, a pour limite zéro, et la direction de la Sécante AA, a la même limite que celle de A’A,. Mais cette dernière tend à faire un angle droit en A’ avec la droite AM, dont la position limite est AM; donc enfin

Vo De te

la limite de la direction AA,, ou la tangente cherchée, est perpendiculaire à AM.

Expression du rayon de courbure de la courbe décrite par un point lié à la courbe roulante.

143. Une courbe donnée U’V! { fig. 65) roulant sans glisser sur une courbe fixe UV, un point M lié à U’V' décrit une courbe dont on demande le rayon de courbure en un quelconque de ses points.

Soient À le point de contact des deux courbes correspondant à une position quelconque M du point décrivant ; O, O' les centres de courbure de ces courbes, qui se rapportent au point À. On sait que AM sera la normale à la courbe décrite par M; nous désignerons par n sa longueur AM, et par o l’angle qu'elle fait avec la normale commune O0’ aux deux courbes données.

Prenons sur ces courbes deux arcs infiniment petits égaux AN, AN’. Soit M' la position qu’aura prise M lorsque N’ sera venu s'appliquer sur N; MN’ viendra dans la position M’N ; elle sera la normale en M': le point de rencontre X de M'N et MA sera, à la limite, le centre de courbure de la courbe en question; et MX sera, à la limite, le rayon de courbure, que nous désigrierons par p.

Dans ce mouvement, qui amène N'en N, et, par suite, la tangente en N’ sur la tangente en N, toutes les lignes du système se sont inclinées d’un angle égal à celui de ces deux tangentes, ou de leurs perpendiculaires N'O’, NO: Cet angle est O +0", et peut être regardé comme ayant pour mesure