I I AN
Er) La droite N’M étant venue, dans ce mème mouvement, coïncider avec M’NX, s’est inclinée d’un angle égal à N'MA + X.
Mais, en négligeant les infiniment petits sans influence sur le résultat, on peut prendre
; AN cos AN cos ?
N MA AN X IX La somme de ces deux angles sera, en employant les notations précédentes,
LE
AN cos p (+ JE
Den
égalant ces deux expressions de la rotation du système, il vient
ce LEE tr I I , R PAM APE R HUE
d’où l’on tire
R'(R +R’) (1) p= AN 1 9 n(R +R") —RR' cos?
ou TR I RR' cos v (a) ICE 01
Les formules (1) et (2) résolvent la question et donnent le rayon de courbure du lieu de M, au moyen des rayons de courbure des deux courbes données, en leur point de contact À correspondant à M, et, en outre, de la posi-
tion du point M, par rapport à À et à la normale à ces courbes.
Il n’est donc besoin de connaître aucune autre chose relativement aux courbes données, que leurs rayons de courbure au point que l’on considère. Ainsi l’on pourrait, en ce point, leur substituer deux autres courbes ayant même courbure qu’elles, et, par conséquent, leurs cercles de courbure eux-mêmes. Le lieu décrit par le point M ne serait plus le même, mais au point en question il aurait toujours même courbure.
Si la ligne UV est droite, on a
RE Met Dar SUILE PP L PF APCE n—kR cosy ce qui est immédiatement applicable à la cycloïde et ramène au résultat déjà trouvé.
Si U’V' est une ligne droite, UV étant une courbe quelconque, on a R''= 0%:
et la formule (1) devient
FT x —R cos o° si de plus le point M était situé sur la droite mobile, on aurait
22 et, par suite, p— 7.
Le centre de courbure serait donc au point de contact À, et, en effet, dans ce cas la courbe décrite ne serait autre chose qu’une développante de la courbe fixe.
Omservarion. — Si la courbe UV tournait sa con” vexité en sens contraire, il faudrait changer R en —R dans les formules (1) et (2), pourvu toutefois quele
DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITFS. 105 centre de courbure X se trouvàt toujours, comme on l’a supposé, sur le prolongement de MA.
Si au contraire le point X se trouvait du même côté que M, il faudrait changer p en — p dans ces mêmes formules.
Application aux épicycloïdes.
