La développée de l’épicycloïde décrite par M est

le lieu des points X ; et nous allons démontrer que c’est encore une épicycloïde.

Soit C la position primitive de M; on a alors AM = 0, et le point X coïncide aussi avec C. Prenant ensuite l'arc CD égal à la demi-circonférence R', le point M est en mn à sa distance maximun R + 2R/ du centre O; et le point X est à sa distance minimum Ox de ce même point.

Pour connaître cette dermière, il faut faire 7 = 2R! dans la valeur de AX ; ce qui donne

2RR/ R° DR RAA 077 RER | faisant Ox=r, Dr 0r on aura donc Re Re RR’ FE Ra Ni - d’où PET A RE te Cela posé, décrivons du centre o un cercle avecle rayon r, qui coupera OB en I; et sur AI comme diamètre, décrivons un cercle dont le rayon sera r’. Il est facilede

Et. SDS

voir quece cercle passera par Le point X; car MA, pro-

longé jusqu’à ce cercle tangent en À au cercle O', donnera

une corde dont le rapport à MA sera celui des rayons

ré

RORESR

LL ou à AX.

Maintenant les arcs AX et AM étant semblables seront

dans le rapport des rayons r’, R’, ou, d'après ce qui pré-

cède, dans le rapport de r : R. IL en sera de mème des

suppléments de ces ares, et l’on aura, par conséquent,

Cette corde sera donc égale à

EAN er LR,

Mais AM, — AD, puisque CD est égal à la demi-circonférence MAM..

On a donc

PNR AD :: FRS: Oz 'OD:

Donc RENTE

d'où il résulte que le point X est constamment sur l'épicy cloïde décrite par un point du cercle de rayon 7’ roulant sur le cercle de rayon r, ce point partant de x. Le point de rebroussement de cette épicycloïde correspondra donc au sommet 72 de la première, et le point de rebroussement C de la première au sommet c de la seconde.

On reconnait facilement que les deux nouveaux cerclés r, r” forment un système semblable à celui des cercles R,R', et qu’ainsi les deux épicycloïdes sont semblables. Ainsi, la développée d’une épicycloïde est une

FRE ". ° 7e à épicycloïde semblable, et le rapport de similitude est FR

ou j R+2kr

ie |

De la double génération des épicycloïides planes.

146. Toute épicycloïde peut être engendrée par deux cercles de rayons différents, roulant sur un même cercle: 1°. Supposons le cercle roulant intérieur au cercle

fixe O {jig. 67). Soient AB son rayon, B le point de con-

tact dans une position quelconque, M le point décrivant

dont la position primitive était I; on aura BM = BI. Par le point M, faisons passer un cercle de rayon OA tangent au cercle O. Il suflira pour cela de merier le rayon OB parallèle à AM et de prendre OA'=— AB— AM: Il en résultera