A'B' = OA — AM

Le cercle décrit du centre A avec un rayon égal à OA passera donc par M et sera tangent en B’ au cercle O. Cela posé, il est facile de voir que les arcs B'M, B'I sont égaux.

En eflet, puisque la figure OAMA est un parallélos sramme , les angles B'A'M, MAB, BOB’ sont égaux. Donc B:M ‘BMP AIM AB .OBl

Ajoutant les termes des deux premiers rapports égaux, on aura encore un rapport égal |

B’M +- BM DÉS d’où résulte BB'—B'M + BM, el, par suite, B'M— B'I.

Donc le point M appartient à l’épicycloïde décrite par.

le cercle À’ roulant intérieurement sur le cerclé O‘en sens contraire du cercle A.

Si done M est un point lié invariablement aux deux cercles, le cercle A’ tournant dans O sans glisser fera rouler lecerclé À de manière que les ares IB, IB', égaux respectivement à MB, MB", soient entre eux comme les rayons AB, OA ; et, par conséquent, les vitesses angulaires des centres À, A’ autour de O seront proportionnelles aux rayons de ces cercles.

20, Supposons maintenant que le cercle roulant A (fig. 68) soit extérieur au cercle fixe O.

Soit M le point du cercle À qui décrit l'épicycloïde, 1 sa position primitive sur le cercle O, B le point de contact des cercles À, O ; les arcs MB, IB seront égaux.

Menons par O un rayon OB parallèle à AM; prenons OA’ — AM, et décrivons un cercle de A’ comme centre avec un rayon égal à A’B', c’est-à-dire égal à la somme des rayons des deux cercles donnés. Ce cercle sera tangent en B’ au cerele O; de plus, il passera par M, puisque la figure MAOA est un parallélogramme et que, par conséquent, AM — OA — A'B.

Cela posé, les angles égaux A, 4’, O, ayant des mesures égales, on aura

MB BB MB AB VOB °Wp

et comme le dénominaieur du dernier rapport est [x somme de ceux des deux premiers, il s’ensuivra

MB'= MB + BB = IP + BP.

Donc le point M appartient à l’épicycloïde décrite par un point du cercle A’ qui roulerait sur le cerele O, du même côté que le cercle A.

On reconnait facilement que les vitesses angulaires des centres À , À’ sont encore proportionnelles aux rayons.

Réciproquement, si À’ était le cercle roulant sur le cer-

E 7 RS En !

cle fixe O renfermé dans son intérieur, Pépieycloïde engendrée par un point de ce cercle, pourrait être engendrée par un point du cercle extérieur À, ayant un rayon égal à la différence des deux autres et roulant sur O du même côté que le cercle A’.

On peut tirer de là la conséquence générale que toute épicycloïde peut être engendrée par le roulement de deux cercles de rayons différents sur'un même cercle. Les rayons de ces deux cercles ont une somme ou une différence égale au rayon du cercle fixe, et le point de contact de ces cercles générateurs avec le cercle fixe se déplace en sens contraire si ces deux cercles sont intérieurs l’un à l’autre, et dans le même sens dans le cas contraire.

Comment tout déplacement continu se ramène au roulement d'une courbe sur une autre.

147. Euler a démontré qu'une figure tracée sur la surface d’une sphère pouvait être amenée d’une position quelconque à une autre, sur cette même surface, par un seul mouvement de rotation autour d’un point de la sphère comme pôle.

Cette proposition, indépendante de la grandeur du rayon, s'applique évidemment au plan, et d’ailleurs les mèmes raisonnements peuvent être faits directement dans ce cas particulier. On peut l’établir très-simplement de la manière suivante :

Soient À, À; (fig. 69) les deux positions successives d’un mème point du système mobile; on amènerait A en À, en donnant à l’ensemble un mouvement de translation par lequel chaque point décrirait une droite égale et parallèle à AA. Il suffira donc, après cela, de laisser le point À fixe en À, et de faire tourner le système autour de ce point jusqu’à ce qu’un second point arrive àla position qu'il doit occuper. Or ces deux mouvements

successifs peuvent être exécutés au moyen d’une simple rotation autour d’un point fixe. En effet, menons VA,U perpendiculaire à AA,, et par À,, deux droites faisant avec VU: des angles égaux à la moitié de l’angle dont le système a du tourner ; inserivons entre ces deux droites les lignes MM’, NN’ égales et parallèles à AA,. IT est facile de voir qu'après les deux mouvements de translation et de rotation, l’un des deux points M ou N, considéré comme lié au système, est revenu à sa première position. Car si la rotation porte de la direction A, N vers A, N’, et, par conséquent, À, M’ vers A, N, il est évident que le point M, parvenu en M’ après la translation, reviendra en M après une rotation représentée par l’angle M'A,M. Et si la rotation était en sens inverse, le point N, amené par la translation en N’, sera ramené en N par la rotation.

Il existe donc un point du système qui se trouve à la même place quand le système passe d’une position à l'autre, et par conséquent ce passage peut être effectué en faisant tourner le sysième autour de ce point. 1] est facile de reconnaître que l'angle de cette rotation unique est le mème que celui de la première. En effet, supposons que M soit le centre de la rotation finale; le point A venant en À,, l'angle de rotation sera précisément AMA,, qui est égal à MA, M, puisque AA, étant égal et parallèle à MM, il en résulte que AM est parallèle à A, M.

148. Revenons maintenant au mouvement continu d’une figure sur un plan.

Considérons un nombre indéfiniment croissant de positions infiniment voisines du système entre deux quelconques de ses positions; on pourrait l’amener de chacune d'elles à la suivante par une simple rotation autour d'un point fixe. Les centres successifs sont distants les uns des autres de quantités d'autant plus petites que les

positions sont plus voisines, et en Îles joignant par des droites on forme un polygone déterminé. On peut maïn= tenant considérer les points liés au système mobile, qui viennent successivement coïncider avec les sommets de ce polygone; ils formeront un autre polygone déterminé, mobile avec le système, et ayant ses côtés successifs res= pectivement égaux à ceux du polygone fixe sur lesquels ils viendront successivement s'appliquer. On peut done faire passer le système par toutes les positions intermédiaires que l’on a choisies, en faisant rouler un polygone lié avec lui sur un autre polygone fixe. Concevons maiïn= tenant que ces positions se multiplient indéfiniment, on se rapproche de plus en plus du mouvement continu en

question; ces deux polygones tendent vers des courbes

déterminées, et par conséquent le mouvement donné, quel qu’il soit, peut ètre opéré en liant une certaine courbe au système mobile, en en construisant une autre qui reste fixe, et faisant rouler la première sur la seconde sans glisser, puisque les parties de polygone qui s’enroulent l’une sur l’autre sont constamment égales. Telle est la manière la plus simple de se représenter le mouvement continu d’un système sur un plan; elle rentre dans le mouvement de roulette que les géomètres avaient d’abord considérée.

149. Les centres des rotations très-petites, ou les dif férents sommets du polygone fixe, tendent vers des points limites qui sont ceux de la courbe fixe, et que l’on nomme centres instantanés de rotation; et l’on dit, en employant le langage infinitésimal, que tout mouvement peut être considéré comme composé d’une infinité de mouvements de rotation autour de ces centres instanta= nés. Mais il faut toujours entendre par ce langage, que nous avons tant de fois expliqué, que ce mouvementest

la limite d’une suite de mouvements de rotation dont le nombre croit indéfiniment, et qui s'exécutent successivement autour de points qui se rapprochent indéfiniment des centres instantanés.

Moyen de mener la tangente à la trajectoire d’un point quelconque du système, quand on connaït les tangentes aux trajectorres de deux points.

150. M. Chasles à déduit de ces considérations un moyen de mener la tangente à la trajectoire d’un quelconque des points du système, c'est-à-dire à la courbe qu'il décrit, quand on sait mener les tangentes aux trajectoires de deux de ses points. Il l’a même étendue à d'autres cas, comme nous Île verrons toui à l’heure. En eflet, nous avons vu que, pour avoir la normale.en un point quelconque d’une de ces courbes, il suflisait de Joindre ce point au point de contact de la courbe roulante avec la courbe fixe, c’est-à-dire au centre instantané de rotation. Si donc on peut mener les tangentes aux tirajectoires de deux poinis du système, aux points correspondants à une position quelconque de ce système, la rencontre des normales en ces points fera connaître le centre instantané; et en le joignant à un point quelconque du système dans cette même position, on aura la normale à la trajectoire de ce point : la tangente s'ensuit.

ExempLe. — Supposons qu’une droite de longueur constante se meuve de manière que ses extrémités restent sur deux droites données ; un quelconque de ses points décrira une ellipse dont la normale s’obtiendra en joignant ce point au: point de rencontre des perpendiculaires aux deux droites menées par les extrémités de la droite mobile dans la position correspondante au pointquel’on considère.

104 L'ALIVRENT

Si, au lieu des deux droites fixes, on avait deux courbes auxquelles on saurait mener les tangentes, il n’y aurait pas plus de difficulté. Dans le cas où ces courbes sont des cercles, la courbe décrite par un point de la droite

inscrite est d’un grand usage dans les applications aux machines,

151. Extension de cette règle au cas où une droite du système est tangente à une courbe fixe, Ou passe par un point fixe. |

Cette règle peut être étendue au cas où une droite du système se mouvrait tangentiellement à une courbe fixe donnée; cette condition peut remplacer la connaïssance de la trajectoire d’ün point.

Il est inutile de parler du cas où la droite roulerait sans glisser sur la courbe, paree que le centre instantané ne serait autre chose que son point de contact avec cette courbe; il serait donc connu et le problème serait résolu. Il suffit donc de considérer le cas où les longueurs qui s’enroulent l’une sur l’autre sont inégales, et où, par conséquent, leurs parties infiniment petites correspondantes n’ont pas pour limite de leur rapport l'unité; de sorte que ces parties étant du premier ordre, leur différence en est aussi. Soient UV, UV’ (fig. 70) deux positions infiniment voisines de la droite du système qui reste tangente à la courbe fixe SS'; M, M! les points de contact correspondants à ces deux positions.

Lorsque UV se déplace , celui de ses points qui était en M"

décrit une trajectoire tangente en M à la courbe SS’. En effet, soit M, sa position sur U'V’; la différence .entre M'M, et l'arc MM’ est par hypothèse du même ordre que MM; mais, puisque l’angle des tangentes, ainsi que MM; sont des infiniment petits du même ordre que MMiou du premier ordre, la distance MM, esi aussi du premier

et la perpendiculaire abaissée de M, sur MV est du second; donc l'angle M,MV à pour limite zéro; c'est-à-dire que la tangente en M à la courbe que décrit ce point lié à la droite UV, coïncide avec UV.

Il suit de là que dans une quelconque des positions de UV, son point de contact M peut être considéré comme se mouvant sur une courbe fixe tangente en M à . UV. Donc on aura le centre instantané de rotation, en élevant en M une perpendiculaire à UV et cherchant son point de rencontre avec la normale à la trajectoire connue d’un autre point du système.

Maïs si. au lieu de cette trajectoire d’un autre point, on connaissait une seconde courbe à laquelle une seconde droite du système serait tangente, on se retrouverait dans le même cas que tout à l'heure; et en élevant une perpendiculaire à cette seconde droite en son point de contact, On aurait une nouvelle droite renfermant le centre instantané de rotation qui se trouverait ainsi déterminé. D'où résulteraient, comme nous l'avons vu , les tangentes aux trajectoires des autres points.

152. Si la courbe à laquelle la droite du système est tangente se réduisait à un point, c’est-à-dire si elle était assujettie à passer par un point fixe, il suit de ce qui précède qu'en élevant en ce point une perpendiculaire à la droite, on aurait une ligne passant par le centre instantané. D'ailleurs la démonstration directe en est encore plus facile.

Car soient À (fig. 71) le point fixe, UV, U'V'deux positions infiniment voisines de la droite, M’ la position où est venu le point M de UV, MM' sera une sécante du lieu décrit par ce point; à mesure que U’ V' s’approcherait de reprendre la position UV, le point M tendrait vers M et la sécanite MM’ vers UV; cette dernière direc-

Éd.

tion est donc celle de la tangente au lieu décrit par le point M de UV. Donc on aura encore une ligne contenant | le centre instantané de rotation, en menant par M une perpendiculaire à UV.

Applications de ces différents procédés.