HUILE

Soit N le milieu de HO, la ligne NT sera parallèle à PO; donc l'angle Let, par suite, l'angle M sera droit; et, par conséquent, le cercle décrit sur HN comme diamètre passera par I et M. Les deux angles MHN, AON seront

égaux entre eux, comme étant l’un et l’autre égaux à HN.

$ : OC Or, si L'on décrit du centre O avec un rayon OA — : un cercle qui sera tangent au cercle HMN, l'angle au

AN AO ? | dans le cercle dont le diamètre est égal à AO aura pour

centre AON aura pour mesure et l'angle MHN inscrit

MN mesure —

AO On aura donc égalité entre les arcs MN, AN, puisque les deux angles sont égaux. ‘

D'où il résulte que le point M de la caustique appartient à Pépieycloïde décrite à partir de l’origine À par un cercle dont le rayon est le quart de celui du cercle donné, roulant sur un cercle concentrique au cercle donné et d’un rayon moitié moindre.

29, Caustique par réflexion d'une spirale logarithmique, en supposant le point lumineux au pôle.

Soient M, M’ ( fig. 38) deux points infiniment voisins pris sur la spirale; MO, M'O les normales; AM, AM’ deux rayons incidents, et MX, M’X ces mêmes rayons après la réflexion.

Il faut d’abord trouver la limite du point X quand M' tend vers M.

Les angles des rayons vecteurs avec la normale étant constants, d’après la nature de la courbe, et l’angle de réflexion étant égal à celui d'incidence, on reconnaît immédiatement que les trois angles A , O, X sont égaux.

Donc les cinq points M’,M, À, O, X sont sur un même cercle. La limite de ce cercle est celui qui passerait par les deux points À, M et aurait en M la mème tangente que la courbe. Traçant donc ce cercle, le point I, où il coupera le rayon réfléchi, sera un point de la caustique.

Si l’on veut connaitre le lieu des points I, il sufhira de remarquer que le triangle AMT est isocèle, puisque les

cordes MA, MI, symétriques par rapport au diamètre MO”, sont égales, et que l'angle AMI est constant ; done le rapport de AI à AM est consiant, ainsi que l'angle IAM.

Donc les points I appartiennent à une spirale identique à la proposée, et que l’on fera coïncider avec elle en la faisant tourner autour du pôle, jusqu’à ce qu'un quels vonque de ses points vienne s'appliquer sur la spirale donnée.

De l'enveloppe d'une courbe de forme invariable liée

à une courbe qui roule sur une autre:

158. Soient HMK (fig. 79) la courbe enveloppée, M le point où elle touche l'enveloppe UV ; H'M’K°’ la première courbe dans une position infiniment voisine, M'le point où elle touche lenveloppe. Les points de contact de la courbe mobile et de UV se déplacent d’une manière connue sur cette courbe mobile; de sorte que le point M de HK est situé sur H'K à une distance infiniment petite de M’. Ce point est donc à une distance infiniment petite du second ordre de UV, puisque la courbe H’K’ est tangente à UV en M'.

D'où il résulte que le lieu décrit par le point M dela courbe mobile est tangent en M à UV, et par conséquent à HK.

Ce qui donne Île théorème suivant :

Les points où une courbe mobile invariable touche son enveloppe, dans une quelconque de ses positions, sont ceux qui décrivent des trajectoires tangentes à la courbe mobile dans la position que l’on considère.

Or la trajectoire d’un point lié à la courbe roulante sa tangente perpendiculaire à la droite qui joint le point que l’on considère au centre instantané de rotation étre

y "LI .

centre est le point de contact de la courbe roulante avec la courbe fixe.

Donc, enfin, pour une position quelconque de la courbe mobile, on aura les points où elle touche l'enveloppe, en abaïssant du point de contact de la courbe roulante toutes les normales possibles sur la courbe mobile.

… Exempze. — Un cercle dont le centre est O’( /ig. 80) roule sur-un cercle fixe dont le centre est O; trouver l’enveloppe d’un diamètre déterminé du premier.

Soient CC’ une position quelconque du diamètre en question , et B le point du cerele O, avec lequel le point C a Coïncidé ; les arcs AB et AC seront égaux.

Pour avoir le point de CC’ qui appartient à son enveloppe, il faut abaisser du point de contact À des deux cercles une perpendiculaire AI sur CC’: I sera le point cherché.

Or, si l’on décrit un cercle sur AO’ comme diamètre, il passera par IL, et l’angle AOÏ considéré successivement comme inscrit dans ce cercle, et comme ayant son sommet au centre du cercle roulant, aura pour mesure

arc AI 7 arc AC AO’ AO’

Done l'arc AT est égal à AC et par suite à AB. Le point I appartient donc à l'épicycloïde décrite par le cercle de diamètre AO’ roulant sur le cercle fixe. Cette épicycloïde est donc l'enveloppe cherchée.

Autre ExEmMPLE. — Considérons maintenant l’enveloppe d’une droite de longueur constante dont les extrémités sont assujetties à rester sur deux courbes données, on aura le point appartenant à l’enveloppe en menant d’abord les normales aux deux courbes aux extrémités de la droite; leur point de rencontre sera le centre instantané, et il suffira d’abaisser de ce point une perpendicu-

laire sur la droite inscrite pour avoir le point de la courbe enveloppe.

En appliquant cette construction au cas où les deux courbes se réduisent à des droïtes perpendiculaires, om retombe sur un résultat précédemment obtenu.

Rayon de courbure de l'enveloppe d'une courbe de forme invariable liée à une courbe qui roule sur une autr'e.