A stdr, id | dy = uvw... — + — -- FT TANT US CCR] LU [4 w
U x . ’ Soitencore y = -» d’où vy — u. En prenant les différentielles des deux membres, on aura
Jde + vdy = du, d’où
ce que l’on peut écrire ainsi :
du — udv
k dy —
Ces trois règles sont d’un usage très-fréquent.
Cominent la différentiation de toute fonction explicite se ramène à celle des fonctions simples.
178. Considérons maintenant une fonction explicite quelconque de x : elle indique une suite d'opérations, à effectuer, dès que l’on aura choisi arbitrairement une valeur numérique pour x. Celle de ces opérations qui doit se faire la dernière, et doni le résultat est la valeur de la fonction, porte soit sur une seule, soit sur deux quantités variables avec x; dans ce dernier cas la différentielle de cette fonction se ramène, par le théorème des fonctions composées, au cas-où une seule des deux quantités serait variable , et alors on n'a plus à considérer qu’une fonction simple. Si donc on savait trouver les différentielles de toutes les fonctions simples , on saurait trouver celle de la fonction proposée , au moyen des différentielles des quanüités sur lesquelles doit s’exécuter la dernière opératon. La question est donc ramenée à déterminer ces différentielles, qui sont celles de fonctions moins compliquées
que la proposée, et qui se ramèneront semblablement à
d’autres fonctions encore moins compliquées, jusqu'à ce
que l’on parvienne à des fonctions simples.
Tout se réduit donc à la différentiation de ces dernières,
et c’est de quoi nous allons nous occuper présentement,
Différentiation des fonctions simples.
179. Différentielle de logx.— Soit y = logx; ce logarithme étant pris dans une base STATS a, on aura
= log(x + Az) — logx = log (14 =)
log | 1 ee AT à ds
me ———————— 0e
AZ — Ax
et, par suite,
Posons — — «, et substituons dans le second membre; TL ,
il yient
Ayitlog(i ie) 7 a —-lg( re)
Az a X
Or on sait que (1+ &)" tend vers la base e du système de Néper, lorsque « tend vers zéro (voir la note I à la fin).
Donc la limite de A ét loge AT
On peut donc écrire
d log e loge 7,085 MOT ET COS dx ni Z 1 a Si l’on observe que loge — —; 1 désignant les loga=
la
2Ât.
rithmes népériens, on pourra écrire d dx dy ï ee ee | ST g- Vxla dr xla' sia—e, on aura y — Îlx, d CE ENET: à à I et Cr | — = — S x CA ARE ©
Dans le cas où «a —
loge —0,4342945....
10, le module loge à pour valeur
