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Soit maintenant m—£# , p ei g étant entiers et positifs, on aura k Le | PESt/, CAO Yi, p: 16.
PPONNTE SR TOR Te Le . Phnes JE
Différentiant les deux membres, 1l vient
qy1—" dy = pa?” "dx;
dy = PRESS dx= ? AT dr. mx ; RELER q Cette formule étant vraie, quelque valeur commensurable qu'ait m, est encore vraie lorsqu'il est incommensurable.
Soit enfin m——n, n étant un nombre quelconque
positif, on aura
rare =: M'obt re nel Différentiant les deux membres, il vient, en appliquant au premier membre la règle des fonctions composées,
a" dy + nx"—!' ydx = © ; d’où dy = 120868 da rx" tes Ainsi, quelque valeur qu’ait m, la différentielle de x” est, comme nous l’avions déjà trouvée, mx” dx.
#82. Différentielles de sinx, tangx, sécx. — Les lignes trigonométriques étant des fonctions de l’are cor-« respondant (voir, dans les applications géométriques, l’article sur la longueur des lignes courbes), nous pou= vons chercher l’expression de leurs différentielles correspondantes à celle de l’arc. Dans tous ces calculs nous supposerons que le rayon soit pris pour unité.
1°, Soit d'abord
Y=SsNT, il en résultera
: : NAZ F3 Ay=sin(x+Ax)=—sinx= 2 sin — cos | + 0
d’où
Or, lorsqu un arc tend vers zéro, le rapport du sinus à Parc tend vers l’unité, ainsi que le rapport de la tangente à l'arc, ou du sinus à la tangente; donc
la limite du second membre est donc cosx.
On a donc dy = — COST; :
dx à on en déduit dy =cosxdx ,
ou d.sinxz — cosxdx.
2°. Soit maintenant y — tangzx; on aura
tang x + tang A x tang A x (1 +-tang”’x Tv = 5 5 — langx — - ë ë 7 1— tangzx tang Ax 1— tangæx tang A+
d'où AY __tangAz 1—+ tang* x
Mæ 0 Ar | 1—tangztangAr”
et passant aux limites,
dy tane: 1 1 Pa— 1 t-lans T—secr— , dx : cos? x et, par suite, dx dy =d .tangx = ——.
cos? æ
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On arriverait au mème résultat en considérant que tang x sin æ
égale » et appliquant la règle pour différentier les
cos gr fractions.
. , I 1 Soit enfin y — sécx — —— ; on aura, par la règle des cos x fractions , d.cosx sinxdx ; dj =— ——— —= ———— = tangx sécædz :
COS? Tr cos? x ainsi d.sécx —tangx sécxdx.
On y parviendra encore en observant que
I I ÂAYV= —— — Y cos(x—+Ax) COS x”
et développant les calculs comme dans les cas précédents. 3°. Différentielles de cosx, cotx, cosécx. — Consi-
dérons maintenant les mêmes fonctions du complément T
= —xde l’arcx.
Observons pour cela que l’on aura en général, en re-
T x D D gardant —- — x comme une fonction de x, et appliquant
la règle des fonctions de fonctions,
d.F (Te) = (T—+) d (£ s)=—#" (T-+) dx.
Aïnsi , pour les trois fonctions cosx, cotx, cosécx, qui ne . T T À T sont autres que sin | — —x } >: tang | —- —X})»sec|=—x};s 2 2 2 il faudra prendre les dérivées des fonctions respectives Ë ; T ‘ :
sinæ, tangx, sécx, y changer x en 5 —X) puis mulu-
plier par — dx. On trouvera ainsi : , dx sin?æ
d.cosx = — sinxdx, d.cotx = — 9
d.cosécx = — cotzx coséc xdx .
sc ‘ PA NES Cr
