CRE

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 247 183. Différentielles des fonctions trigonométriques inverses. — Nous avons vu que, pour obtenir la dérivée d’une foncüon y de x, il suflisait de diviser l'unité par la dérivée de la fonction inverse, dans laquelle on mettrait

y pour variable.

D’après cela, si l’on considère les fonctions arc sinx,

arctangx, arcsécx, arccosx, arccotæ, arc cosécx qui ont respectivement pour inverses

D NET Dsécr,l. cosr, , cotx,i 1 COSéCZ,

on trouvera :

à dx dx HO =arcsint, dy — = »

COSY V1— x dx pour y = arctangzxz, dy — cos’ ydx = ——; : ] dx dx pour y —= arcsecæx, ay —= RSA TT TT em Ne tang y séc y x Vx?—i j dx dx pour y — arccosæ;, dY = — = DA — 9 ù dr pour —arccotxz, dy = — sin’xzdy = — -— ’ PF 2 à ; dx dx pOur — arc cosecr, dy — — - PSS : LE lc UE coty cosecy x Vx?— 1

Il faut bien remarquer que les radicaux qui se sont iuiroduits dans ces formules doivent être pris , tantôt avec le signe +, tantôt avec le signe — ; on reconnaîtra celui que l’on doit prendre, en considérant la ligne trigonométrique qui l’a introduit.

Les trois dernières différentielles sont égales aux trois premières, en faisant abstraction des signes, qui peuvent être semblables ou dissemblables ; et cela tient à ce que la somme ou la différence des deux arcs correspondants est une constante.

248 LIVRE Ii.

Les signes que nous ayons donnés aux radicaux dans ces formules se rapportent au cas où l’arc est compris

T entre o et es

Les différentielles des fonctions trigonométriques , ou fonctions circulaires, pourraient encore s’obtenir par dés considérations géométriques fort simples , auxquelles nous ne nous arrêterons pas. |

184. Le tableau suivant renferme les différentielles de toutes les fonctions simples. Nous y représentons par la lettre caractéristique L les logarithmes dans une base quelconque, et par 1 ceux qui se rapportent à la base de Néper. Dans les fonctions trigonométriques inverses, les

e e. e- FF signes des radicaux supposent l'arc compris entre o et 2]

A ER d .sinx—cosxdx i dx d.x —nx dx 5 d.arcsianx = ——— Tr —< d Nr d'tangr= Fa < 2 cos x dx A d'.sécx—tangzx sécrdx 2 RITES) 1+ x?

Il est bon d'observer que ces différentielles des fonc tions simples de x ne supposent nullement que x soïtMla variable indépendante. Elles correspondent bien à la différentielle dx; mais celle-ci peut dépendre de celle d'une variable quelconque dont x dépendrait, comme aussi elle peut être entièrement indépendante. Ainsi l’on

aurait MU 2[F(z)ld.F(x}, nie (x)|—= cos (x )]d: EF (x), 0

C'est cette mème considération qui nous a conduits à la différentiation des fonctions de fonctions.

Différentielles des fonctions implicites.

185. Si par fonction implicite on entendait toute fonction dont la forme n’est point donnée explicitement, mais qui est déterminée complétement par les données de la question , on se jetterait dans une trop grande généralité, et il ne serait pas possible de donner des règles générales pour leur différentiation. Nous renfermerons “seulement sous celte dénomination les fonctions qui sont liées aux variables dont elles dépendent, par des équations dont les deux membres sont des fonctions explicites de toutes ces quantités.

Nous considérerons d’abord le cas où l’on a une seule équation ; ce cas se subdivise en deux autres, suivant que la fonction dépend d’une seule ou de plusieurs variables indépendantes.

Soit d'abord la fonction y déterminée par l'équation

HS ME I0i

Les dérivées par rapport à x, des deux membres de cette équation, devant être identiques, et y étant une fonction déterminée, quoique inconnue de x, nous aurons, d’après la règle des fonctions composées,

dF dE dy dr dE 10; où :— dx re

PT de

équation qui détermine la dérivée ou la différentielle de,

ù cn. À

. ? FF TE: . dE dF puisque l’on peut former les dérivées partielles de 0 de la fonction explicite F(x, y). On aura ainsi :

dF dF

dy dx dx = = — — d'où dy = —— dr.

An TE JAP 0 SITE

dy dy

Ces valeurs de la différentielle et de la dérivée de y sont exprimées au moyen de x et y à la fois; elles ne peuvent l'être au moyen de x seul, que quand on peut résoudre l'équation F(x, y) — 0 par rapport à y; maïs néanmoins ces formules ne laissent pas que d’être d’une grande utilité dans le cas même où cette résolution est impossible.

186. Considérons maintenant m — 1 équations entre m2 variables; ce qui détermine m— 1 d’entre elles en fonc tion de la m°"*, qui sera la seule variable indépendante: Soient

Fa ee d'elle

on trouvera, en différentiant toutes ces équations,

dE ’ gb, dE ’ ee — — — 4 T SAT de SPORE ne O, dE, dF.

— d —— d —— d ne 1x ‘ nn dy 12, 00 ai dEn dE dE m2 d, L — ——— 1 CRE SEE TE — d SUCDAEe ee 4

dx qe dy AP, TE GR Ÿ:

De ces m—1 équations du premier degré par rapportà

dy, dz, eic., on tirera la valeur de ces mn — 1 inconnues en fonction de x, y, z,... et dx; ce qui était l’objet de la question.

Expression remarquable du rapport des accroissements finis de deux fonctions d’une méme variable.

187. Soient F (x), f(x) deux fonctions quelconques, et x, X deux valeurs arbitraires de x; X surpassant x, d’une quantité finie positive À. Il s’agit de trouver, au moyen des dérivées de ces fonctions, une expression du rapport

Fm) (a) FX) (a), f(to+h)—/f (%) FX) —f(%)

en supposant que la fonction f(x) soit toujours croissante ou toujours décroissante; ou, en d’autres termes, que sa dérivée soit constamment de mème signe, pour toutes les valeurs de x comprises entre x, et X. Admettons, pour fixer les idées, que f'(x) soit constamment positive entre ces limites; et soient À , B la plus grande et

la plus petite valeur que prend entre ces mêmes limites le

F'(x rapport ER on aura constamment

Fe)

Pa), Fa) 19} 707

Multipliant par f'(x) qui est positif, on aura les deux inégalités suivantes, qu'il faudrait changer de sens si

f' (x) était négatif :

F(x)< AS (x), (x) >Bf/(r).

Le premier membre de la première inégalité est la dérivée de F {x}, et le second de À f(x), et par conséquent

(n° 72) F (x) croit moins rapidement que À f(x). On

a donc

F(X)— F(20) <A[S(K) — f(x) l; et divisant par f(x) — f(x), qui est positif, par hy-

pothèse,

La seconde inégalité conduit de même à

EF X)— F(x0) SES) — f(x) 7 F’(x)

Si donc le rapport est continu entre x, et X, ce

FA qui arrivera évidemment, par exemple, si F’(x)et f(x) le sont séparément, il existera une certaine valeur de x

intermédiaire entre x, et X, telle que ce rapport devien-

dra égal à FRE) qui est compris entre la plus

grande et la plus petite valeur que prend P ee . Si l'on désigne cette valeur de x intermédiaire par x, + 0h, 0 ayant une valeur comprise entre © et + 1, on parviendra à la formule suivante, dont nous ferons de nombreuses appli= cations : h) F (x + h)—F(x) F(t+0k)

ft h)— f(x) f(x +0k)

Si l’on avait supposé f’(x) constamment négauf, les

inégalités n'auraient fait que changer de sens, et n'en au raient pas moins conduit à cette même formule. Il faudra bien se rappeler, dans les applications de cette formule; qu'elle suppose que f’(x) soit constamment de même

F'(x signe entre Lo EL Lo + , el que le rapport (æ) asse par

JTE fx) P

Ÿ TS TT Li HT 1.7 ? (4 ;

toutes les valeurs comprises entre sa plus grande et sa plus petite, quand x passe par toutes les valeurs comprises entre %o et Xo—+ h.

188. Nous allons déduire de l'équation (1) quelques propositions qui nous seront fort utiles par la suite.

Si l’on avait pour une valeur particulière x, de la vaviable, F(x)=0, f(x) —0, la formule (1) deviendrait, en posant 0} — h,, h, étant moindre que ,

F(x, +) CM EF (Tor h, } Faro+ h) fm + hi)

Si l’on avait, en outre, F’(x,) —=0,/f'(xs) —0, on aurait semblablement , en représentant par F/{x), f" (x) les dérivées de F’ (x), f” (x) ou les secondes dérivées de F{x), f(x),

F'(xo+ hi) F”(xo + #2) 7 J'(a-+ hi) DR TUPE TA

par toutes Les valeurs entre sa plus grande et sa plus petite; et, par suite,

hk étant moindre que h;, ,eten supposant que passe

F1 (to + À) EF" (2x0 + les) (a+ À) so PAT Do + hs)

Si l'on avait F/(xr,) = 0 et f(x) = 0, on obtiendrait une formule semblable où entreraient les dérivées de F'(x) et f(x) ou les troisièmes dérivées de F{x),

f(x). En continuant ainsi, et désignant, en général, par

g"(x) la fonction qu'on obtient en différentiant successivement m fois la fonction quelconque o (x), on verra que si l’on a les conditions

Firi20, UP ENTER LAPS 0, F0) —= 0, ES (x) RO hi de AT (to) 0e

et que les rapports des dérivées de même ordre, jusqu’à l’ordre 7: inclusivement, passent par toutes les valeurs entre leur plus grande et leur plus petite, ce qui aura lieu s'ils sont continus, on aura

(2) F(ro+h) F(a+ 0h) f(m+h) fn +6) 8 désignant une quantité positive moindre que l’unité.

Si toutes les conditions précédentes étaient satisfaites, excepté F (x,) — 0, on aurait

(3) fla+k) OA