Comme application de cette dernière formule

supposons que l’on ait F(x)= (x — mm)",

et que la fonction F (x) ait toutes ses dérivées continues k jusqu’à F"{(x) inclusivement, entre x et x + k : les conditions. f(Xo) = 0: f' (ro) = 0, ROIS | seront évidemment satisfaites; et, en supposant toujours que l’on ait F'(x,) = 0,10. , EPST END ”

l'équation (3) devient

hr 1.9, 9 70

d’où A

(4) F(n+h)—=F(me= a, F'(G ee)

On voit que si l'accroissement À de x tendait vers zéro, et que F"(x,) füt fini, l'accroissement de F(x), pour la valeur particulière x, , serait infiniment petit de l’ordre 7, celui de x étant du premier.

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC, 295 Si l'on a, en outre, F (xs) = o, la formule précédente

devient

4 h" n (5) Mons F (x + 0h).

Si x, est zéro, cette équation se change en la suivante :

° ; F (2) — ns (7

et, changeant l’indéterminée À en x,

2 F1 (Pa},

en admettant les conditions O0 Fo) —0;..:, Et (où On peut remarquer qu’on aurait semblablement

et que par conséquent, dans ce cas, F (x) est infiniment petit par rapport à F' (x).

Si l’on n'avait pas F (x) — 0, on obtiendrait, au lieu de l'équation (6),

(7) Ex) — F(0) = —