ARRET
190: Nous déduirons de ce qui précède un corollaire irès-simple, et qui nous servira par la suite. Il consiste
en ce que si tend vers zéro en même temps que x,
et que F (x), F'({x),..., F"(x) soient continues entre o
etx, la fracuüon x!
PEt9.. ; [ZA
pourra se mettre sous la forme
En eflet , 1l résulte d’abord de hypothèse, que
256 LIVRE fl.
l’on doit avoir
F{0)=.0:,:.É/(0) =0,..., Re
car sans cela
serait infini, pour x = 0. On peut donc
appliquer ici la formule (6), et l’on voit, par conséquent,
ar!
que si devient nul pour x — 0, on aura
F{t)uss Er di
PMR ee
191. L’équation (4), dans laquelle on suppose 7 =; devient, en remplaçant par x la quantité arbitraire x, ,
Elle conduit immédiatement à une conséquence déjà ob= tenue precédemment, savoir : qu'il n'y a qu’une expres= sion indépendante de x, dont la dérivée par rapport à x soit nulle quel que soit x.
En effet, soit F (x) une fonction telle, que pour toute valeur de x on ait F’ (x) = 0; l'équation désignée montre que, quels que soient x et x + h, on aura
puisque F'(x+860h) est nul par hypothèse. Donc F(x)=F(x+h),et par conséquent la fonction F (x) a toujours la même valeur, quelle que soit la valeur dela variable; elle est donc constante relativement à x, ou, en d’autres termes, elle ne dépend pas de x.
D'où résulte, comme nous l'avons dejà dit, que deux fonctions qui ont la méme dérivée par rapport à une méme variable, ne peuvent différer que par une constante, c'est-à-dire par un quantité indépendante de cette variable. En effet, la dérivée de la différence de ces deux fonctions , étant la différence de leurs dérivées, ést nulle
CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, FTC. 207 d'elle-même, d’après lhypothèse ; donc cette différence est une constante, comme il fallait le démontrer.
192. Nous terminerons par cette proposition très-importante, que si F(x, y) est égal à zéro quel que soit x, quand on donne à y une certaine valeur particulière a, toutes les dérivées de F (x, y) par rapport à x deviendront aussi nulles, quand on y fera y = a.
En effet, pour toute valeur de x et de À, on aura, en vertu de l’équation (8),
(a) Ffx+h;y)—Fix,ry) = 2AF(x+064,7),
la dérivée étant prise par rapport à x.
Or les deux termes du premier membre deviennent nuls pour y — a; donc F'(x + 6h, a) —o.
Et comme x et sont arbitraires, on peut affirmer que x + 0h peut prendre toutes les valeurs possibles, bien qu on ne connaisse pas la valeur de-0; car x + 0h est toujours compris entre x et x + k, et l’on peut faire en sorte que x et x + À comprennent toujours entre eux une valeur arbitraire x’ et s’en rapprochent indéfiniment ; d'où il suit que x + 0h peut s'approcher indéfiniment de x', etque, par conséquent, F’(x,a) est nul, quel que soit ZX.
De là on déduira semblablement que F/(x,a) est nul quel que soit x ,et qu'ilen esi de même, en général, de
Pre. a).
195. IL est encore utile de remarquer que si 2 tend vers zéro, et y vers &, le second membre de l’équation (9) sera infiniment petit par rapport à À, puisque F'(x + 6h, y) tendra vers zéro; donc {a différence infiniment petite relative à x, d'une fonction F(x, y) qui est infiniment petite, quel que soit x, est infiniment petite par r'Apport à l'accroissement correspondant de x.
pe 17
À Différentielles et différences d'un ordre quelconque de fonctions d’une seule variable. i
194. La différentielle dy d’une fonction y de x, étant elle-même une fonction de x, aura aussi sa différentielle, et ce sera une quantité dont le rapport à la différentielle de x sera égal à la limite du rapport de l'accroissement infiniment petit de dy à l’accroissement correspondant de x. Pour plus de simplicité, on prendra pour la différentielle de x, dans cette nouvelle différentiation, la même valeur que dans la première; et, en général, on lui conservera toujours la même valeur pour toutes les différentiations que l’on aura à effectuer; c’est ce que l’on appelle prendre dx constant. Nous représenterons la différentielle de dy par ddy ou d?y, et nous l’appellerons la différentielle seconde de y par rapport à x. De même dy, aura une différentielle que l’on désignera par d?y, et qui s’appellera la différentielle troisième de y; et aïnsi de suite.
Il faut bien se garder de confondre ces indices de différenlation avec des exposants de puissance. Les puissances successives d’une différentielle dy s’écriraient de [a manière suivante :
dy Sud. LAyA EX IN ÉEORAREE
TT NT en D D CE TI
Rien n’est plus facile que d'exprimer les différentielles\
successives de la fonction F (x) désignée par y, au moyen de ses dérivées.
En effet, on a d'abord
REP EAICE
Or la différentielle de F’ (x) dx sera le produit de dx par
sa dérivée par rapport à x, laquelle est F/ (x) dx, puis-
que dx est indépendant de x. On aura donc és d'y = E"(x)dx.
On aura de même Pn-=E7 (a) dr, et généralement d'y — Fr (ride, ou d 247 dx" — F° (æ) )
de sorte que les dérivées successives d’une fonction de x peuvent être considérées comme les rapports des différentielles de même ordre de cette fonction aux puissances du mème degré de dx.
On voit par là qu'une différentielle d’un ordre n quelconque est en général un infiniment petit de l’ordre », dx étant pris pour le premier ordre; et que [a détermination des dérivées successives d’une foncüon ne diffère pas de celle de ses différentielles.
195. Les différentielles successives d’une fonction ont avec les différences de cetie fonction des rapports qu’il est essentiel de connaître.
La différence Ay de la fonction y étant elle-même une fonction de x, a aussi une différence; il en est de même de celle-ci, et ainsi de suite indéfiniment. Pour former ces différences successives de la fonction y, on suppose que l’on donne constamment à x le même accroissement A x, et on les désigne de la manière suivante :
AY, AY, Ay,..., A7.
Les puissances de À y seraient désignées comme il suit :
Dr A MA ANT ESS y IAE.
Or la proposition que nous allons démontrer consiste en A"y Le à
ce que l’on a généralement, lim. — .
q D 9 À x" dx 1 En effet, ori a d’abord AY n}4 — == TX) + o  x ( ) 3
w devenant nul quel que soit x, quand on fait Ax =0: Prenons maintenant les accroissements que subiront ces deux membres lorsque l’on augmentera encore x de A x,
EEE ; n° et divisons-les par Ax; le premier donnera — Quant T
au second, il suflira de prendre sa dérivée par rapport à x et d’y ajouter une quantité qui soit infiniment petite en même temps que Ax. Mais w devenant nul avee À x, quel que soit x, sa dérivée deviendra nulle en même temps, et par conséquent le second membre difière de F”(x) d’une quantité qui devient nulle avec Ax. En la désigant par 6, NOUS aurons
AE
en prenant encore les accroissements des deux membres de cette identité, relatifs à un nouvel accroissement A%, et les divisant par Ax, on obtiendrait semblablement
et généralement
uw), , devenant nul avec Ax.
On a donc, en passant aux limites,
dry
him. —— = F'(x) =
comme nous l’avions annoncé.
Il suit de là que si l’on fait tendre Ax vers zéro, en
V EUR D prenant dx = Ax, le rapport 1e aura pour limite l’u-
nité, et la différentielle de l’ordre n d'une fonction quelconque de x pourra étre prise pour la différence du méme ordre de cette fonction, en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à cette difference. |
Cette proposition est très-importante, en ce qu'elle permet de substituer les différentielles d’ordre quelconque aux différences infiniment petites de même ordre, dont l'expression serait beaucoup plus compliquée , et il n'en peut résulter aucune erreur dans les calculs où l’on ne considère que les limites des rapports ou des sommes.
Remarque.— Lorsque plusieurs fonctions, que l’on a à considérer dans une même question , dépendent toutes d’une seule variable x, les différences premières infiniment petites sont touics déterminées par Az, oupar une quelconque d’entre elles; ainsi Ay désignera partout le même accroissement , soit qu'on le détermine d’après Az ou d’après la valeur correspondante de Ax, en supposant toujours que la valeur de x soit la même. Mais le y n'aura pas la même valeur quand il exprimera la différence de y par rapport à x ou par rapport à z. En effet , dans le premier cas il faut considérer les trois valeurs de Y correspondantes à x, x + Ax, x+2Ax; prendre la diflérence de la deuxième à la première, et de la troisième à la deuxième, puis la différence de ces deux différences. Dans le second cas, il faudra considérer les trois
valeurs de y qui correspondent à z, z + Az,z:+2Az, et agir de la même manière sur elles. Or les deux premières sont les mêmes dans les deux cas; mais la troisième est différente parce qu'à x + 2 À x ne correspond pas z + 2AÀz : il s’en faut d'une quantité infiniment petite par rapport à Az, et que l’on n’a pas le droit de négliger par rapport aux différences du second ordre. + Il est donc nécessaire de distinguer avec soin les différences désignées par À°y, dans les questions où l’on ne prendrait pas toujours la même variable indépendante. Il en serait de même des ordres supérieurs.
196. Si l’on considère en particulier les fonctions a," Hogz," a," SSir OURS on trouvera
d'a" = mim—i)...(m—n<+i)x""t dx",
dx" d'logxz = =ÆE1:2.3...(nr—a)loge=s LS
dia = af l'aux',
. . Te d'sinx = sn(x+A n din g r d"cosx = cos | x + 7 — ) dx";
et il est bon de se rappeler que le second membre donne la valeur de la différence infiniment petite de l’ordre»; à une quantité près infiniment petite par rapport à cette différence.
mi mem ———
