CHAPITRE IE

DIFFÉRENTIELLES, DÉRIVÉES, ET DIFFÉRENCES PAR- TIELLES DES DIVERS ORDRES, DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES. DIFFÉRENCES ET DIFFÉRENTIELLES TOTALES.

197. Une fonction de deux variables indépendantes, x eby, peut être différentiée successivement par rapport à chacune d'elles partiellement, et l’on peut supposer que ces différentiations soient en nombre quelconque et se succèdent d’une manière quelconque. Le nombre de ces différentiations constitue l’ordre de la différentielle, de la différence ou de la dérivée. Il n’y a rien de nouveau à dire sur eur formation , puisque l’on n’a à considérer à chaque opération qu’une seule variable indépendante. Les dérivées partielles d'ordre quelconque s’exprimeront au moyen des différentielles correspondanies d’une manière entièrement semblable à celle que nous-avons trouvée pour les fonctions d’une seule variable, Elles ont aussi lesmèmes rapports avec les différences partielles correspondantes ; et la reproduction identique des raisonnements déjà faits dans le cas où l’on considère toujours la même variable, conduit immédiatement à ces conséquences. Nous ne croyons cependant pas inutile de donner quelques développements à ce sujet.

(roc (x, y) le résul-

Désignons généralement par TIR sas at de 2 dérivations partielles effectuées par rapport à x

sur lafonction u — F(x, y), suivies de n dérivations par-

tielles du résultat par rapport à y ; lesquelles seront elles: mêmes suivies de p dérivations par rapport à x, et ainsi de suite.

Désignons de même par du le résultat obtenu

en prenant d’abord la diflérentielle partielle de l’ordre m de w par rapport à x, puis la différentielle partielle de l’ordre n par rapport à y de l’expression obtenue, et aïnsi

de suite. Et enfin représentons par AT?" u le résultat

2, Ps Tee obtenu en prenant d’une manière analogue les différences au lieu des différentielles. Cela posé, on aura d’abord, d’après ce que l’on a vu en traitant les fonctions d’une seule variable, et faisant usage des notations que nous venons d'indiquer,

ASE TE T2 \ IN Put y.) date

Considérant maintenant y comme la seule variable, ct prenant la différentielle 2°°”*° des deux membres, on aura, de la même manière,

FR jé dd FA (æ ,Y ) dx"! dy" à prenant maintenant la différentielle partielle d'ordre p par rapport à x, et continuant ainsi indéfiniment, on obtiendra

Are me MSN HD TiYrtrre NOR Tec

(es y hd an da? ...,

: (E4 CHALARE

M+ie+p 177

ALI CARRE NES 1 Ses dx" dy" dx? RES EAELDIE ( ? %, ]

Les dérivées partielles s expriment donc au moyen des

différentielles partielles correspondantes d’une manière analogue à celle qui se rapporte aux fonctions d’une seule variable. :

Il y, a encore évidemment le mème rapport entre ces dérivées et les différences partielles correspondanies. En effet, on aura d’abord, d’après ce qui a été démontré pour les fonctions d’une seule variable,

Nr, Ne,

o) devenant nul en même temps que Ax. Prenons maintenant la différence n°”° des deux membres par rapport à y, et divisons-la par A y"; il faudra, par les mêmes raisons, prendre la dérivée partielle 2°"* du second membre par rapport à y et y ajouter une quantité qui devienne nulle avec Ay. Si, de plus, on observe que w devenant nul avec Ax, il en est de même de sa dérivée 2*"° par rapport à y, on en conclura légalité suivante :

m+n [74 Yar M+n+p"*" — VF sa (x, 7)+o, à À ax" A y" CHACL

u, devenant nul quand on suppose que Axet Ay Île deviennent tous les deux.

Prenant actuellement la différence d'ordre p des deux membres par rapport à x, la divisant par Ax? , et coninuant ainsi indéfiniment , on obtiendra la formule générale

Mm+n+p'."* Pé 1 ss di m+n+pe \ — ET (x,Y)+e, AZ A y" AP... PRIT NE

£ devenant nu! quand Ax et A le deviennent tous les deux. |

D'où l’on conclut enfin, comme pour les fonctions d’une seule variable,

2 nm+n+ ..

ER (42 $ d de tTA . T,J,T°°° mn … LPC TRES im, 2780) 00 prete CS GANT A TRE, FEU dx" dy dx. ;

et il en serait de même pour un nombre quelconque de variables indépendantes.

Les notations que nous venons d'employer veu être simplifiées au moyen d’une proposition fondamentaleque nous allons démontrer.

198. De l’ordre dans lequel se succèdent les différen tiations. — Si l’on prend les différences successives“ d’une fonction par rapport aux diverses variables indé“ pendantes quelle renferme, on arrivera toujours au même résultat, dans quelque ordre qu'on effectue ces s opérations , pourvu qu'on ne change pas le nombre des celles qui doivent être faites respectivement par rapport | à chaque variable.

Soient, en effet, x et y deux des variables dont dépend une EE DA TA

Si l’on change d’abord x en x + Ax, u devient | 4

HU + Au; ni à - il : p | à dat ‘ol 6 4 ] à DA af D À 1] Î si dans cette expression On change y en y + ày,eMe devient .

u + Au +A,u + A,

et l’on a ainsi ce que devient u quand x et y sont changés | en X + AX, y + AY.

Or, en faisant les substitutions en sens inverse; on aura

u + A,u + A;u + À, Us £

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 207 ‘et ce résultat doit être identique au précédent puisqu'il exprime toujours la fonction u dans laquelle x et y sont changés en x + Ax, y +- À y.

Donc on a identiquement 1° Li re AU.

2,7 ya Si maintenant on divise les deux membres par Ax Ay

ét qu'on passe aux limites, en faisant tendre Ax et Ay Vers zéro, on en conclura, par ce qui précède,

[/4 er

(x, x) CE Tr)

et, par conséquent,

dd, u Fe

Si l’on prend successivement un nombre quelconque de différences, de différentielles ou de dérivées partielles, il est facile de voir que l’ordre dans lequel on les prendra est complétement indifférent. En effet, deux de ces opérations successives pouyant être changées d'ordre, on pourra faire ârriver au premier rang celle que l’on voudra, en la faisant avancer successivement d’un rang vers le commencement ; on amènera ensuite au second rang celle que l’on voudra des auires, et enfin on les placera toutes dans un ordre quelconque , sans que le résultat cesse d’être identiquement le même.

D’après cela, on pourra supposer que toutes les différentiations par rapport à la même variable soient faites consécutivement , et les notations précédentes seront simplifiées en ce qu’elles ne renfermeront qu’une seule indication pour chaque variable : et c’est ce que nous ferons dorénavant.

On simplific-encore l'expression des dérivées partielles

dm+n y ;

EP don lieu de Re parce que les exposants de dx et de dy suflisent pour indiquer le nombre des différentiations effectuées par rapport à chacune des variables x et y.

Mais si, pour avoir la différentielle parüelle correspons dante, on faisait la multiplication par dx” dy" en suppre mant le dénominateur, on obtiendrait du, expression qui ne renfermerait plus aucune trace des différentiations effectuées. On est donc obligé, pour que la notation aït un sens déterminé, de conserver le dénominateur, et dé crire ainsi cette différentielle,

en écrivant

m+n drrru dx"! dy" à dx" dy"

Elle serait représentée beaucoup pl us simplement par la notation déjà employée, d”"u.

Le système de notation de Lagrange s'applique aux fonetions de plusieurs variables; mais nous n’en parles rons pas, vu que ies géomètres n’en font pas usage. Pa notation de Leïibnitz a prévalu, parce qu'élle a surioul le grand avantage de mettre en évidence les différences infiniment petites, dont la considération est si utile dans k toutes les recherches qui dépendent des mathématiques:

Différentielles totales des fonctions de variables indépendantes.