Soit EL == ke pi a MA

x ety étant indépendantes ; nous avons vu précédemment que l’on avait du du

Au=— Ax + — AY F@;, dx dy

“” étant infiniment petit par RÉDPONS à Ax,AYy, Au, quand A x et A y tendent vers zéro.

La somme des deux premiers termes jouit donc, par rapport à l'accroissement total Au ,de cette propriété remarquable, d’être égale à la différence elle-même, à une quantité près infiniment petite par rapport à cette différence. D’après cela , l'analogie nous conduit à donner le nom de différentielle totale de w à lexpression suivante :

\ s dx + mn dy ,

dx et dy étant des quantités indéterminées et indépendantes que nous nommerons les différentielles de x et y. Elle jouit de la propriété que, lorsque dx et dy seront considérés * comme les accroissements infiniment petits donnés à x et y, elle pourra être prise pour l’accroissement total de w en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à cet accroissement.

Nous désignerons cette différentielle totale par du, et il faudra bien la distinguer des du partiels qui se trouvent dans le second membre et sont différents l’un de l’autre. Pour éviter toute confusion , on devra se garder de supprimer les facteurs communs dx et dy, et écrire

du du DR PE :

(1) u A Pr

On peut encore écrire du = du + du :

Ces considérations s'appliquent à un nombre quelconque de variables indépendantes, et /a différentielle totale dune fonction de plusieurs variables indépendantes sera toujours la somme de ses différentielles partielles relatives à chacune de ces variables.

Cherchons maintenant l'expression dés différentielles successives de u. A pour cela remarquons d’ abord que la

différentielle de Ÿ sera, par la règle qui vient d’être 2! 2" dyr démontrée, drtp+i u d'i+P+iyn

RER EEE dx —— dy ; de dpr À dede Ÿ'?

elle se formerait donc en multipliant par = — dx SR mL] d'rP u dx” dyP?

l'indice du numérateur comme un exposant, et qu'après la multiplication on changeàt l’exposant des numérateurs en indices de différentiation. D’après cela, si l’on part del la formule (1), la différentielle du second membre s'ob:

V expression pr oposée — pourviu qu'on » | considérat

; A du “ üendra en la multipliant par + =. dx + PAAUE et faisant

le changement des exposanis en PR. Il en sera dl même pour la différentielle de ce résultat; et, par con séquent , en désignant par du la différentielle totale de l’ordre m de «, on aura la formule symbolique

en entendant toujours que les exposants des du danse second membre seront changés en indices de différentia

tions.

Comparons maintenant d"'u à la différence totale A"%

Reprenons pour cela la formule

A se A ve A | PNR pe L + dy 4 a ES o), dans laquelle nous supposons Ax et À y infiniment pe-

tits; et donnons à x et y les mêmes accroissements

à du ; Ax, A y. L’accroissement de E calculé semblablement F4] PTE RES | Miroir du du NT du À de n mulüpliant — par — ot s’obtiendrait e P + PU Se ajoutant une quantité infiniment petite par rapport à Ax

$ k à ; du et A; ilen serait de même pour l'accroissement de ns

Ay sera r'e-

du dy présenté symboliquement par le carré de cette expression, dans lequel on changera les exposants de du en indices, plusune quantité infiniment petite par rapport aux quantités Ax”, AxAÂY, Ay°. Or nous savons que w se compose de termes qui ont en facteurs, les uns Ax, les autres Ay, et en outre d’autres facteurs qui deviennent nulssavec À x et A y ainsi que leurs dérivées; d’où il suit que l’accroissement de w sera infiniment petit par rapport aux mêmes quantités À x°, AxAy, Ay’.Ona donc la formule symbolique

: du De sorte que l'accroissement de ne NE

étant infiniment petit. par rapport aux quantités À x?, AxAy, Ay*. En continuant ainsi on parviendrait, sans difficulté, quel que füt le nombre des variables, à la formule symbolique générale

w étant infiniment peut par rapport au produit de m fac— teurs À x ou À y.

On a donc aussi cette autre proposition générale :

La différentielle totale de l’ordre m d’une Jonction d’un nombre quelconque de variables indépendantes dans laquelle on prend dx, dy, etc., égaux aux accrots-

sements infiniment petits de ces variables, ne diffère de la différence mi" correspondante, que d'une quantité

infiniment petite par rapport à elle-même.

Remarque GÉNÉRALE. — Lorsque l'on cherchera une équation entre les différentielles d'ordre quelconque de fonctions quelconques, et que, pour y parvenir, il sera avantageux de considérer d’abord des différences infiniment petites, on pourra substituer les différentielles aux différences correspondantes, et négliger toute quantité infiniment petite par rapport à celles entre lesquelles on cherche la relation. Car si l’on divisait l'équation exacte par une des différences, élevée à une puissance convenable, et qu'on passät à la limite, les rapports des diffé rences seraient remplacés par ceux des diflérenuelles, ( l’on aurait l'équation même à laquelle on serait parvenné en négligeant des quantités nécessaires pour l'exactitude, de l'équation entre les différences, mais qui disparaissent de l'équation exacte entre les différentielles, considérées. comme des quantités infiniment petites ou finies.

Différentielles totales des divers ordres des fonctions

de plusieurs variables dépendantes.