Si les variables x ei y, qui entrent dans la font

tion z, étaient elles-mêmes des fonctions de variables indépendantes, les différentielles totales de u changeraïent toutes de forme, excepté celle du premier ordre, parce que les facieurs dx, dy ne seraient plus constants. Ainsi la diflérentielle première de u auraït toujours pour expression du

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Mais, en diflérentiant cette expression, il s’introduirait

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les termes

et l'on formerait dx, d°y en fonction des variables indépendantes et de leurs diflérentielles d’après les formules précédentes. On aurait ainsi

du d'u d'u du Mar?

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et du jouira, par rapport à A°u, de la propriété qui a été démontrée indépendamment de la forme qui pourrait résulter de variables intermédiaires entre u etles variables indépendantes.

On trouverait de même les différentielles totales des ordres suivants, et pour un nombre quelconque de variables, supposées dépendantes d’autres quelconques. Si parmi ces variables, les unes étaient dépendantes et les autres indépendantes, il suffirait de supposer nulles les différentielles de ces dernières qui passeraient le premier ordre.

Cas particulier où x et y sont des fonctions linéaires. — Si xet y étaient des fonctions linéaires des variables indépendantes, dx et dy seraient constants, quelles que fussent les valeurs des variables; on aurait donc