L LA

Fo n CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 2093

Série de Taylor pour les fonctions d'une seule À variable.

216. La série que nous allons faire connaitre a pour objet de développer une fonction quelconque de la somme æ=+h suivant les puissances entières et positives de l’une des parties, par exemple de h; elle a été découverte par Paylor, et a conservé le nom de son inventeur. Maclaurin en à déduit une autre qui donne le développement d'une fonction suivant les puissances de la variable, et qui à été employée avant lui par Suirling. Il suflit, en eflet, de faire x= o dans la première pour obtenir le développement d'une fonction de la variable } suivant les puissances de 2. Cette série de Maclaurin n'est donc qu'un cas particulier de celle de Taylor, et c’est pour cela qu'on la désigne ordinairement sous le même nom.

Soit F (x+Ah) la fonction qu'il s’agit de développer suivant les puissances entières et positives de A.

Commençons par écrire un nombre quelconque 7 des termes déduits suivant la mème loi que si la fonction était entière et rationnelle, et désignons par f (h) la fonction de x et de 2, qui, ajoutée à ces termes, reproduit F (x + A) : nous aurons

F (x+hA)=F(x)+AF' (x) + — Kader. is | hi pue, :

Msn + yul

Les dérivées des deux membres par rapport à A étant nécessairement identiques, on reconnait sans peine que J (a) et ses (2—1) premières dérivées deviennent nulles pour k — 0, et que