INTÉGRATION PAR PARTIES

.199. La méthode dinlégration par parties, due à Jean Bernoulli, est fondée sur cette formule de calcul différentiel

d(uv) — udv-f- velu , ‘ f

. , uv= J" [udu + vdu) z= J udv~\- J'vdu ,

d’où on tire .l’équation fondamentale '■ J - .

(88) . .. j udv — uv — j 1 v/tu. *',• . t

Si donc dans une fonction proposée on peut discerner un facteur immédiatement intégrable dv, on l’intégrera sans modifier le reste « de l’expression, ce qui donnera le terme ne; puis on reiranebéra une intégrale formée en conservant

' • CAl;Ct!L INTÉCRAL.-. 2Üq

la partit? intégrée eet différeutiant l'autre faneur », ce qui ' peut toujours se faire. La recherche de la prelnière intégrale sera par là ramenée à la seconde qui- sera souvent plus facile. . . ; . • • . ■ . •

200. Premier principe. — Une première voie qu’on peut •toujours tenter, consiste à considérer dx comme la partie intégrable. On a alors la formule générale

. * J'/{^)dx = x/(x) — J xf [x)dx. . ’

^Exemples. ” r '. . ;

(8p) j Lx.dxxzx Lx-

I arcsinx,rfr— xarcsinj> — U-LÎ==xarcsiHx-)-v / 1 — x’-t C.

J 'Jt/l-.r’

arc tangx.r/xj=,rarc tangx -

j ‘ xdx ! H-x J

■ ' == x arc tarie ar-s X(i+ j’) + C.