J sin’xcos’j: '*~J cos’x^J'àtfZ
= tangx — cotang.r -f- C.
Exemple II. — On a d’après (81 ) . -
J' sin/nxsin nx.dx
=ï J' — [cos(m — «) x — cos (ni -f- «) x\dx
j = ~ j" coz[rii — n)x.<lx — ^ J cos (m-\- n)x dx sin(;« — «) x ’ sin (m n\x
■ 2(m — n) 2 (ni -f- n)
Il est nécessaire, pour que ce résultat ne prenne pas la forme infinie, que lés nombres m et n soient différents.
. CALCUL INTÉGRAL. Sk 33
ExempleIH. — Dans le cas d’égalité on a directement (8 1)
J" sin'rar,(fe= J -
— cos 2 tnx . x sin 2 mx. %
dx = * h G.
195. On peut rattacher à ce principe une méthode générale pour l’intégration des fonctions rationnelles. Comme un polynôme bntier et rationnel peut toujours s’intégrer par décomposition d’après la formule (83), et que l’intégrale d’une somme de fractions reviendra à la sommedeleurs intégrales, il suffit de considérer une fraction rationnelle f[x). Or nous ppssédons (livre II, chapitre IV) un procédé général pour la réduire à la forme
eumettant en évidence les termes du premier degré. On tire dé là eu intégrant par décomposition (83 et 78 )
- 2 M J(' r + ffl ) ^ d{x 4 - m ) 4 -^V j = VM i jr + w ) ^ +^Nt(g+«i)+C.
Exemple I. — Nous avons trouvé (111)
x 1 4 - px ■+■ 7-
on en tirera
vV-4v I x + ^ + ^,J + C '
Exemple II. — Nous avons trouvé aussi (116)
x 4 — ïl’ + i 4Lt*-+- | )'/ + ~(x — l .r I x — I J ’
nous en tirons
/’ àx i f(x+i)-' l.r — i) - ' “I
J ,x»+i nr=^~ + J-^c
— * Ti " 3 " ^ V / : — C •
196 . Quatrième principe. — On peut employer le double principe de la transformation et de là décomposition d’une manière inverse, Au lieu de ramener une expression compliquée à une somme d’autres séparément intégrables, on change une fonction intégrable en une somme de deux autres quelconques. Il s’agit ensuite de discerner dans l’expression intégrée la partie qui exprime ^chacune des deux v intégrales inconnues.
Un premier moyen consiste à introduire des quantités imaginaires, ce qui donne la faculté d’égaler séparément les parties réelles et imaginaires. On obtiendra" ainsi deux relations qui fourniront les intégrales inconnues.
Exemple. — Supposons connue l’intégrale suivante dont nous donnerons plus tard l’expression (92, p. 242)
on aura, d après, la formule d’Euler (i 3 , p.,86), en chan-
CALCUL. INTÉGRAL
géant n en p ■+• q \J — i ,
9 { P +ç{r: 7) = f^^^\ x dr
= J, 3f n e px e' ,x ^ ' dx — J'x m eP*(cosi/.r-+- V — i sin </x) dx = J c/’* cos f/.r . dx -j- y/ — l J'*'"*
x'"r>’ I s\nqx.dx.
Par suite, en séparant dans f{p-hq^ — i) les parties réelles et imaginaires, on obtiendra les deux intégrales
ÿ' x m eP‘cosqx.dx, J x* eP*sin qx.eùr,
plus générales que celle qui a servi de point de départ.
: * • jk - *
197. Un Second moyen consiste à séparer l’expression intégrable en deux fonctions semblables qui ne diffèrent que par la valeur d’un paramètre numérique. On obtient par ' là une relation entre deux valeurs consécutives de la fonction envisagée par rapport à son paramètre et ou en déduit cette fonction de proche en proche. Un exemple est indispensable pour faire comprendre cet énoncé.
Exemple. — On a (83), sauf la constante, .
* j^l x . d x = J tang-T^^t, Be x= -
oc on a aussi identiquement
tang* - ’ x sin' ,-î .r (sin’.r 4- cos’x) sirt“x sin^ ’x- .
cos’r cos’x cos“x cos" -î x
= tang’x.H- tang; -, .r. . •
s3 6 LIVRE IV.
Multiplions par dx et intégrons par décomposition, il viehl
tang"
1 — ^— == j'tong' Jc.d* -T- J' tang"- , x.rfx.
Si donc nous posons
J tang“x.<£r =z ÿ (n),
on pourra écrire
. , tang" ‘jr . ,
■ Telle est la relation en question.
Pour en déduire la fonction elle-même, changeons successivement acnn — 2 , n — 4) • • • , il viendra
et en substituant de proche en proche
' tang" -l .r tang" -3 x tang" 1 .r
mais il faut reconnaître la manière dpnt la série se termine. ' •
Si n est pair, on sera ramené à
<f(o)±=Jdx = x + C,
et si n est impair, à (186)
f(i) = I langx.r/x = — L cosx -+- C';
ou nura donc
tang }m jc.djcz= -
CALCV L* ISTécnAt.
1 jt tang*"
Uing’"'~ s .<'
im — 5
tang’x tangx
/* , tane’"x tang 1 “~ , x tang w,, x
/ iang“ + ‘x.rfx= — - b 1 E .
J 2 m un — 2 2 /»i — 4
avec- les signes supérieurs ou inférieurs suivant que m est
pair ou impair. , ! ' .
198. Cinquième principe . — Comme nous savons intégrer un polynôme entier et rationnel quelconque (195) et que toute fonction peut être mise sous cette forme par la réduction en série, ou pourra employer cette vote pour intégrer une fonction quelconque (')• Cette méthode est complètement générale et l’est seule; rtialhcureusement elle ne résout le problème qu’imparfailemenl, car elle fait connaître l’intégrale par le moyen d’une série qu’il faudrait être ensuite en état de sommer pour avoir son expression finie» -
ce qui n’aura lieu que dans des cas très-rares. . \ ,
Exemple 1. — Si, par exemple, on cherche l’intégrale
on réduira la fonction en série sous la forme (23 , p. 99)
Ç!) Nous réservons, bien entendu, les conditions de convergence.
'd’où , en intégrant,
• -tC x m - ■ '> •
■ —7===7 dx = C -
Exemple II. — De même si ./(#) désigne une fonction quelconque développable par la formule de Mai Taurin, on ’ . aura • . •
, xr/\x) =/'o). -4-"^-^ xf” + ' S.°) jy-n-f- . . , )
et, par suite, . .
/ *-/{4rfr=C+/(o}^- ^Î+.V..'.'' -
§ IV
