Deuxième principe. — Le plus souvent on prend

une fonction pour la partie intégrable.

-ExBMfi.es. : ;

J' x cosx.rfxp= J'x.dsinx =: x sinx — j * sin r . dx . ■

- ■ —x sinx co$x -t- C. -

( 90 j J' x-sjn x.dx — — J' x.dcoix:j=— 'XCOSX-I- J“ COSX.f/x

- — — x cos x -f- sin x 4- Ci

. 202. Troisième principe. — Lorsque certains facteurs manquent pour composer une partie intégrable, on peut

?4p ' '.LIVHE IV.

les introduire en ayaut soin de mettre dans l'autre partie . , .les facteurs inverses pour 11e rien changer.

-^Exemple. ' i ; . ’

■ / ;••*/*. . C sinx - • ' . t r ■

(i)i) / sin’x.dx = I — — -sin xcosx.dx= - J tangvr.r/ sm’x

"• V, t r . , dx

. x' = - tanex sin J x l.sin'x.

~ > 2 -a y cos?x . , '

1 • . . 1 l" 1 — cos’x ,

= — tans x sin'i — I - dx

•a 2 7 cos’x ' -

Vv 1 . 1 r <ix 1 r ,

— - tan^x sin’x I 1 — f d.r

■ • • 2 2 j eos’X 2 J , • '•

=3 - tangx sin’.r tangx -|--x - 4 - C

x — sinxros.r

2U3. Quatrième principe. — fl arrive souvent que l’intégrale à laquelle on est ramené n’est pas connue immédiatement, mais qu’elle est pourtant plus simple que la proposée; de telle sorte qu’il devient évident qu’en persévérant dans cette voie et appliquant plusieurs fois de suite la méthode, on arrivera à une expression directement intégrable.

F.xempi.e I. — Considérous d’abord l’intégrale jf" L n x.dx = xL"x — h J' x.L’~'x. — -

— xlJ'x — n f'L"-'x.d.c. >. .

Nous sommes ramenés a une expression toute semblable,

mais dans laquelle l’exposant est abaissé d’une unité. Si donc, on désigne l’-intégralo cherchée par ... . •

£,L*x.dxx= ?(#);•.

CALCÜL 1STÊGKAL.

.cette équation prendra la forme

<f{n) — xL'x — nifÇri — i).

En changeant successivement n en n — i , n — 2, . . . , il Viendra 9 • .

Or on a trouvé directement (89)

<p(l)= J'Lx.dx = xLx — 1 C.

On aura donc, en substituant de proche en proche,

f L'x.dx=C^ L "*-" L 7' X ~ hn{n - l)L ''~'*~---\> .J I — «)(« — à). .4.3.2.! .j*

avec le signe supérieur ou inférieur suivant que «est pair ou impair. •

Exemple II. — Considérons maintenant l’intégrale

x“‘ e"‘ dx = — J ,r“ de* x = ; / r" 1 . x"'~' rtc

Si nous posons

j* x" c* x dx = f (♦»>»

cette formule se transformera ainsi . ^

. x"ir nt m ,

2/f 2 . LITRE 1T.

et donnera successivefnent

Jf-'e** (m — i) , f (m — i) = — — a),

• Comme on aura pour finir ( 80 )

il viendra, en substituant de proche en proche,

m{m — 1 )(rn — 2 ) 3.2.1

avec le signe supérieur ou inférieur suivant que m est pair ou impair.

204. Cinquième principe. — Une méthode fort élégante consiste à diriger le calcul de manière à reproduire la même intégrale, mais avec un autre coefficient que l’unité positive. On forme ainsi une équation du premier degré qui la détermine. . . .

, Exemple I. — Considérons comme exemple très-simple J‘x m dx x.x m — Jx.mx m ~' dx

1 — ni J' x"dx. -

On lire de ià

CA.J.CCL INTÉGRAL. '

[m H- ijj' x"dx ss x * +l -)- G,

xTdxss f- C',

Exemple II. — Désignons par m et n deux nombres quelconques entiers et positifs. On a 0

J' ÙT\ m xcos\T.dx== m ^—j' cos*~'x.(m -+- i )sin'"jccosx.<ir

sin" +l x.cos" - S xsin x . dx

sin”xcos"“ J x( i — cos'x) dr

sin l "xcos*~ , x.rfx »

sin"xcos"x.rfx.

cos" - ' xsin" ,+l x

cos" - 'xsin"' 1 ' 1 x

ni -+■ i

ni -+- i

cos’* -1 xsin” ,+l x

La dernière intégrale est précisément la proposée; il vient donc, en la faisant passer dans le premier membre,

sm" M ''xcos“ - 'x n —

— I sm m xcos "x.«x =

stn"xcos " -5 x.rfx.

Si donc on représente par f (m, n ) l’intégrale cherchée, on aura

, sin* ,4 -'xeos“ , x n — i

* {m ’ *)~ — + ,TT^ 7(/ "’

On trouverait absolument de même ep opérant sur le cosi-

2 i4 . LIVRE ir. ,

nus comme nous l’avons fait pour le sinus

. , cos"" 1 "' xsin”~'x m — i

' . m -(- n ni -+■ n T ' '

Ces formules permettent (l’abaisser de deux unités chacun des deux exposants. C’est ce,qu’on.fera successivement jusqu’à ce qu’ils soient réduits suivant leurs parités à zéro ou à l'unité^Ori sera ainsi ramené à l’une des intégrales

J * di r, J ' sin x.dx , J' cosx.rfx, J sinxcos x.rix,

qui sont respectivement, sauf la constante,

x, — cosx, sinx

cos 2 x

• 205. Exemple III. — Considérons encore l'expression

.rf[m -4- n.rfi)l tlx .

Les coefficients m et n sont quelconques; quant aux exposants, r est supposé quelconque, q un nombre entier et positif, et p un multiple de q diminué de l’unité. On aura, en employant l’intégration par parties,

■rP(m nxfi) r dx — - — j — xf~9p ' . ( r-jh i j (m -4- «xV) r nqxd~'dx

m -4 - n.r7) M -‘rfx.

__ xP ~ 1+ ' ( m + ”** ) ,+ ' /■>—? + ' C x p-<)t

[r-Jrl)nq (r-t - l) m/ J

Or on a, en détachant un des facteurs m -f-nx’,

xP'l ( m - 4 - hxi ) r - H f= mxf~ i(m -4- wx» y -f- nxP ( m -p- «x» )' ;

CALCUL INTÉGRAI..

ce qui décoftipose l’intégrale en deux autres

(m + nxi) r

xf i m + nxfl Y dx — r

— , H{£ 9 l ) Ç x r-i ^ m n xiydx

Mais la dernière est la même que la proposée que je représenterai par y ( p ) . L’autre est une intégrale toute semblable où l’exposant p de r est. changé eu p — < 7 , c’est-à-dire y (p — q). De là l’équation

n(p + qr+i) „ •.

(/• + *)"? . * x?-'i + ‘ (m -|- nxî) r +' mlp — <7+0 *, .. . .

“ FTTW - rT7) -~- Mp-9)>.-

et par suite . .

m nx^) r+ ' ih (p — 7 + 0

«(/> + ?»•+ 0 . n(p+qr+ 0

La recherche de <p (p) se trouve par là ramenée à celle de <f (p ■ — q). En abaissant ainsi successivement l’exposant de x de q unités chaque fois, ou finira par le réduire à q — 1 , puisque p est par hypothèse un multiple de q diminué de l’unité. On aura alors-directement

if -1 ; m + nxi

) r dx = - — — - — / (r+ 1 )(m + nx^Ynqxl ~'dx

( m + nxi) r+ '

.(r + 1 )nq

206. Sixième principe. — On peut enfin chercher à faire reparaître la même intégrale, non plus immédiale-

ment, mais-après un certain nombre d’autres intégrales intermédiaires. En les considérant, ' ainsi que la proposée, comme des inconnues, on aura entre elles un nombre égal d’équations. Celles-ci seront du premier degré et on en * pourra toujours faire l’élimination. On trouvera de cette manière l’intégrale proposée, et accessoirement plusieurs autres * '

Exemple I. — Traitons ainsi l’expression

J' s^sianx.dx—— J* i\n nx.rlc**=

<r"-“sin/M'

<r"“cos nx.dx.

Cette nouvelle intégrale étant analogue à la proposée, j’opérerai de même sur elle

i C . e*“cos«x n C

ff"*cos nx .dx—^- I cosnx.de mt = : h — I r" t ’smrix.iix.

mj m mj

Nous sommes maintenant ramenés au point de départ. Si donc nous faisons *

j 1 e** sinnx .dx = u, J' c"“ cos nx.dx ~ v,

nous aurons les deux relations

<r“ sin nx «

e mj: ros nx n

L’élimination donne

n> si n nx — « cos nx

ntcosnx 4- n sin nx

C4LCWL IHTÊG1UL.

Qn aura donc tés deux intégrales

/ ' / C . . . wsin n.r — «cos nx

1 I «"*SW1IMP # dx ZX ; ; Ctl' + C, -

if

«e^coS nx . dx —

• m -i- rr niwsnx'-h n sin nx

Exemple II. — Considérons encore l’expression

<?*cos 3 x. tir = e'cps'x 4- 2 j'pcosx sinx .dx;

nous avons de même • ...

J* e*eosxsin x.rfx = <?*cosxsiiïx — J' «•*( cos J x — sin’x) tLt .

Si on intègre par décomposition, on reproduit la proposée^ mais en même temps une nouvelle intégrale. Or celle-ci se ramène à la seconde de cette manière

J*’ e x sin 3 x. dxxxc* sin’x — 2 J 4 Siaxcos x . dx.

Si donc nous faisons

J’ <4cos ‘‘x .dx zx u , J' c'sin’x . ilx — 0 , j <4sira xcoS x.dx — w,

nous aurons les relations

■' « = e'cos’.r 4- a iv,

■» v = c'sln 3 x — 2 w,

• «< ==r* sinx cosx — «4- <>.

On feu tire

u — v = e* cos 2 x 4- 4 <v = e*cos 21+ 2c 1 sin 2 x — 4 ( rt — *')♦

,11 — v = -t: (cosax 4- 2 sin 2 x), . -

ayant la somme et la différence,

(5 +C0S2J: 2 sin a jr).