THÉORÈME FONDAMENTAL. ' V

20?. Désignons par F (x) l'intégrale sans constante de /'(x), l’intégrale générale sera

* •/*/(* ) rfx — F ( x ) -+-C, ■

les deux caractéristiques F et f étant reliées par l’égalité

• • . il * * -

Envisageons deux valeurs particulières de la variable, x et X. Celles de l’intégrale qui leur correspondent seront F (ar) C et F (X) 4- C, et l'accroissement qu’elle subit pour passer de l'tinè à l’autre

. . • [F(X)^C1-[F(x)4-C1=F(X)-FCx)'.

On voit qu’il est indépendant de la constante et par suite le môme pour toutes les intégrales d'une môme fonction. Il suffira donc de l’évaluer avec- une seule d’entre elles, par exemple l’intégrale sans constante. ,

Or cet accroissement fini de l’intégrale est la somme des - accroissements élémentaires qu’elle a reçus dans l’intervalle quand la variable a passé de x à X par des degrés infi-

aSio livre iv. t

piment petits dx. Un accroissement élémentaire' peut .être remplacé par la différentielle, et celle-ci s’exprimera par Je produit F' (x) dx de la dérivée par dx (t, p- i4), mais en ayant soin d’y donner à la variable ses valeurs successives x', x dx, x -f- a dx, x 4 - 3 dx,.. , X. On aura donc

F' {x) dx -t- F' (x 4 - dx) dx 4 - F’ (x4- 2 dx)d.r

-h F' (x 4- 3 dx) dx. . . 4 - F'(X) dx,

ou d’après la relation précédente

' • . /(x)dx-^-f [fc 4" rfx) dx-+-f[x 4- 2 dx) dx.

-.< j-\-f[x-\-‘&dx)dx. . .+fC&)dx. , " -

* De là ce théorème fondamental : Quand on rencontre une sérié formée des valeurs successives d’une fonction qui correspondent à des valeurs de la variable en progression, arithmétique de raison dx, tous les termes étant multipliés par dx ; la somme de la série est égale à la différence des valeurs de l’intégrale qui correspondent, aux deux limites . extrêmes de la variable.

208. Une pareille expressioh s' ippeU^intégrale définie. Les valeurs extrêmes de lavariable en sont dites les limites ; O 11 la désigne de la manière suivante :• ' -

et on l’énonce somme de x n X de f(x) dx , en commcn- . cant par la limite inférieure et finissant par la limite supc-‘ rieure. ' . .

La lettre qui figure sous le signe d’une intégrale définie ■ et qu’on appelle symbole d'intégration, est absolument indifférente, et on peut lui substituer tout autre caractère

puisque, après avoir etlèclué l’intégration' à l’aide de cette

CALCUL INTÉGRAL. . . . AO J

lettre, on doit la remplacer par deux valeurs déterminées, qui en font disparaître toute trace. Cette remarque bien simple est parfois fort utile.

On peut renverser le sens des limites à la condition de changer en même temps le signe de l’expression. On a en, effet

fer ' ' ^

f /(«)rf« = F(X) — F(.r),

et par suite

JX . • • • *

J* /(aj rfa = — '( /(«)/«• .

Lorsqu’on change de variables sous le signe somme , il faut en même temps changer les Kmites. En effet, si où- a posé (189) ‘ . V > .

■ r =f(x) d’où r =+(*)/ ' ; ’ . *

aux valeurs /« et n de x correspondent pour y. 4 (ni) et (n), de sorte qu’on aura '• *>'

209. On a donc, 'en fait d’intégrales’, trois expressions bien distinctes à considérer :

L’intégrale générale ' J f \x)dx=zV (*) -pC, ' *•

L intégrale définie - 1 f(.x)rix = F (x) — F (m), •

«//Il . . •.».«.

L’intégrale numérique / f(x)tlx F(/|) — F ( /// ).

La première est une fonction dé x incomplètement déterminée. Il ne suffit pas,' en effet, d’assigner In valcurde x

a5a . - .. livre iv.

.pour qu’on puisse calculer celle de la fonction. 11 faudrait en outre particulariser celle de C, mais alors on n’aurait plus l’intégrale générale. La seconde est une, véritable fonction de x déterminée en même temps que la variable. La dernière n’est plus une fonction, mais une simple valeur numérique.' - ' * '

Exemple.

Intégrale générale J ■«?<£» ?=>«*- |-C,

* • ' * * . fi* .

Intégrale définie I t*dx=t* — r» = e* — i,

Intégrale numérique I — e' — c*.= i 1 828. . . .

. ■ ; - § il.