CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIES

210. La seule méthode générale pour l’évaluation desintégrales définies dérive de leur définition. Elle consiste à former. l’intégrale sans, constante, à y substituer les deux limites ft à retrancher les deux résultats. Ce procédé est évidemment peu satisfaisant, puisqu’il oblige à déterminer une forme analytique, e’esl-à-dire une infinité de valeurs, lorsqu’on n’a besoin que de deux seulement d’entre elles.

..Exemples I. — - On’a, quel que soit l’entier )n (8 1 ), -

■fit : . , .

. sin /» n -7 sin ( — iinr)

nix I =

U cos «x . rfr= si n

j r~ hlz . ■ r 1 1 •* — cos/h jr -é-cosf

I I sin/n.r.ax—1 cos mx = -

En elfet, les deux sinus sont individuellement nuls« et les dpûx cosinus sont égaux entre eux*

— mit)

calcul iwtÉr.nAi.. , ■ ‘ a53

Exemples II. — Les produits, tels qup sinroxsinnx, si n mx cos nx, cos mx cos nx , dans lesquels m et n sont supposés difTérents, peuvent toujours être décbmposés en sommes de sinus ou de cosinus (87) auxquels s’appliqueront séparément les deux formules (94)- 0° aura par suite

. . - V- •• •- x'SSs

sin mx sin /w.rfx x b ,

I sin m

J— TC i

mx cos nx*dx — o,

00s mx cos nx . dx == o.

211. On peut employer utilement le changement de variables pour ramener une intégrale définie à une plus simple. . • • •*

Exemple I. — Désignons par n un nombre entier quelconque, et considérons l’intégrale

Posons

sin 1 nx. dx.

y = nx.

l X = — JT,

y = niz,

\ y— — nn. .

On aura d’après la formule {91, p. a4o),

* , p - 4 - me

• I / siu’n.r tlx — — sin’ y. tir

' — sm'rcosr

— r^Lr:

résultat indépendant de n.

a54 ' . LivRt iv. ’

Exemple II üi» obtiendra do même

Tt

212- On", peut quelquefois apercevoir directement et sans aucun calcul- la. valeur d’une intégrale définie.

Exemple. — Il est clairque l’on a, quel que soit n,

•*+* TT

x cos nx dx == o.

En effet, si l’on prend deux valeurs égales et de signes contraires de x, les éléments qui y aboutissent seront égaux et de signes contraires^ car le facteur cos yix se retrouve le . même pour les deux. Leur somme sera donc nulle, et Comme tous les éléments peuvent être groupés ainsi, la somme totale ou l’intégrale définie sera elle-même égale à séro. ...

213. Lorsqu’on a recours aux méthodes d’intégration qui ramènent la recherche d’une intégrale à une autre en réitérant plusieurs fois l’opération, on peut négliger les termes qui s’annulent aux deux limites et qui compliqueraient inutilement parleur présence, les opérations intermédiaires en disparaissant au dernier moment. On rend souvent par là fort simples des calculs qui seraient autrement très-laborieux.

Exemple. — Cherchons, d’après la méthode du § 204, \ l’intégrale suivante, dans laquelle « désigne un nombre

CALCUL INTÉGRAL

entier quelconque

j sin v x.rfx=^ — sin"” 1 x cos x + ('>—') J »in n-, xcos , x.rfxJ

TT • '.*

~[n — i) I sin' ,, xco» , .T'.f/x=:(« — i) I sin” . ! '.r(i — sin J vo V , . (M)

— (« — i) I sin'-’x-v/x — (« — î) I sitv“x.rfx,

•/O • Ja.

x)ax *

d’où

j sm"x,ax== c- r sin'—’x. /te. ••

Il suffit donc pour abaisser l’exposant de deux unités de. •' multiplier, par * ; tandis que pour l’intégrale générale

il y aurait en outre un terme à ajouter à chaque opération.

D’après cela, si n est pair, on l’abaissera successivement jusqu’à zéro

- - ÎT

,lx == [xf =-’

et s’il est impair, jusqu’à l’unité

• • , ir

sin x . rix = ( — cos x ] 1 — f .

On aura par suite, en mettant la parité de n en évi»

■ douce,

y:ivrf. iv.

(aro — i)(aw — 3 ) ( a m — 5 ). . . , 5 . 3 . i * 2 m (2/P — 2) (2 /»» — 4 ).... 64.2 2

J sin ' m+, r.dx—- — — 5- j-5