Différentiation et intégration sous le signe somme

— Désignons, par a une consume arbitraire qui figure à titre de paramètre dans une expression à intégrer et par m et x deux limites qui ne dépendent en aucune façon de a.

Je suppose que l’on sache trouver l’intégrale définie

dans laquelle a subsistera eu général.

On aura évidemment

£'<*) = F (« + <&») — F(a) da

f /[x, a + da)dx — f /(. v,d)dx dm

da

Les deux intégrales ayant les mêmes limites, on peut les . réunir en une seule ; dx devient alors facteur commun de la " différence; enfin da étant une constante par rapport au symboled’intégration et à ses limites, on peut le faire entrer sous le signe somme. Il vient ainsi

T .f[x , a -f- da) «)

da

dx .

cest- à-dire

et généralement

JT (s)“-=rw.

On déduit ainsi d’une intégrale définie une ou plu

sieurs autres entièrement différentes. Ce principe s'énonse en disant qu’on peut differentier sous le signe somme par rapport à un paramètre, lorsque les limites en sont indépendantes.

Exemple. — On a (80, p. 227)

On en déduit (44), en prenant n fois la dérivée par rapport à a, cette intégrale plus générale,