Si on considère les deux expressions

'J rfxj J' /(.r, J dn f(x,

on voit, d’après le principe précédent, qu’elles ont la même ’ dérivée par rapport à x,~

f f[x,a)da,

elles ne pourraient donc différer que par une constante ( 184); mais elles s’annulent à la fois pour x — ru, par suite elles sont égales. On a donc

= jT F {a)da.

On peut ainsi intégrer aussi bien que differentier sous le signe somme, par rapport à un paramètre dont les limites '«ont indépendantes. On obtiendra encore par là des inté-

CALCUL IKTÊGRÀL. 2§g

grales définies tout à fait distinctes de celle qui sert de point de départ.

Exemple! — SI on change dans la formule (g3, p. 247)

n en a et m en — 6 ,

cos ox t T n sin nx — b cos<T.»n® h •

En intégrant par rapport à a entre zéro et a, il vient (82, p. 227)

.sin a. r n

— 5— rix =. aidant:—»

expression dont on ne saurait trouver l’intégrale générale. Si b se rapproche indéfiniment d&zéro, 011 aura

a ("* sinn.*: , n .

Pour n > o : arc fcang -r = d — >. / dx — -) — ,

sin ax , n

— ■ — tlx ==

Ainsi cette intégrale définie ne dépend en aucune façon de la valeur du paramètre a , mais elle dépend de son signe qui détermine lç sien propre. Si a n’a pas de signe ou s’annule, arc lang \ s’annule quel que soit b , et par suite encore . b

quand b == o, puisqu’il y a indépendance entre les deux paramètres. O11 a donc

Pour n = o; arc tang j = o,

/ si

Jo

(ix sr: o .

L’intégrale s’annule en même temps que a.

Si donc on construit entre les coordonnées x et y l’équation

SII1 7.x

liviw: iv.

qu’on obtient on changeant le symbole d'intégration x en a,

et désignant le paramètre a pat' l’abscisse x\ on obtiendra

deux ligues droites dont l'ordonnée est égale à — et qui s’arrêtent l’une et l’autre infiniment près de l’axe des ordonnées. 1^ y aura en outre un point isolé à l’origine. ' >

Fig. 18.

Comme on n’est pas habitué à de pareils exemples de discontinuité, il n’est pas sans intérêt de vérifier directement ces résultats. Si on change pour cela dans l’intégrale définie

■ (Îjc ,

x en ax, les limites restent les mêmes, et il vient

Comme on a pu changer le symbole d’intégration x en ax, sans modifier la valeur deTintégrale, il s’ensuit que celle-ci est égale à la précédente qui ne renferme pas a, c’^st-àdire qu’elle est indépendante de la valeur de ce paramètre. Mais elle dépend. de soft signe, car tons les éléments auront ce signe, et par suite leur somme elle-même. Si le paramètre est nul, tous les éléments sont rigoureusement mils, et par conséquent aussi l’intégrale.

■CALCUL tNTÉGttAL.