r> — jr»— 3/, r« — *y< h

Si nous la prenons entre les limites o et 2 A, il viendra

y jc/j =r û £ 2 JT, -t- 4 y I — y-, — 3y.

où en réduisant

+• |(jr. — 2/,-t-r,)

/ rfj? = 3 (r»+ 4.Vi + />!•

Telle est la formule simple de Simpson.

217. Elle offre ce grave inconvénient d’approcher fort peu de la réalité, lorsque la fonction présente une variation on peu accidentée ou lorsqu’on la prend entre des limites trop étendues. En effet, le trinôme ne se raccorde nécessairement avec elle qu’aux extrémités et au milieu de l’amplitude, et il peut s’en écarter beaucoup dans les intervalles. Mais rien ne nous empêche de subdiviser l'amplitude proposée en plusieurs autres assez petites pour que la formule précédente s’applique convenablement à chacune d’elles. Il suffit ensuite d’ajouter tous les résultats pour avoir la somme de tous les éléments compris dans l’intervalle entier. Effectuons cette transformation {

La dernière formule peut se mettre sous une autre forme eu changeant le symbole d’intégration et spécifiant la fonction à intégrer * *

1 ' " y 2 ^ F {z)dz — ^ j F (o) -t- 4 F(4) + F ( 2 4) J.

Posons ' . ’

z — j; — ni , tlz ~ di*.

CALCUL IMTÉGUAL.

On aui» pour ' , ,

* = O, à, . , 2 A, x—w, m + Aj m + ii)

par suite

F{o )•=/{»), F(4)s=/(« + A), F (îA) = /(«»4- 2 A},

et, par conséquent, en ayant soin de changer les limites

Remplaçons successivement m par ni 4~ a A, m 4- 4 A, • ■ • » m 4 - AA, A étant un nombre pair; il viendra

.-vHIrt-i A A , .i

/ /(* ) (Lr == - | /(#w 4-2 A) 4- 4/('" "+" 3 A) +/(«* 4- 4 A )}

J /* ni -t* (i A a , .

f[x)dx = — Jy(w -t-4 A ) +■ 4/( m + 5 A) 4-6 A)j m + ii ■

Ajoutons toutes ces équations. Chaque, intégrale eom- . mençant où finit la précédente et portant sur la même expression, nous pouvons les réunir en une seule et écrire simplement

) X X 3 j 4- 2/,. 4- 4-Ai-3 4- a/*-, 4- 4/», 4-/*

Si maintenant nous posons

nous aurons la formule définitive

' f(x)dx —

?fk—î + 4A— l-+yi

On obtiendra donc la valeur d’une intégrale numérique quelconque en .partageant l'amplitude rn — h de la variable en un nombre pair k de parties égales, calculant les k -+- 1 valeurs de la fonction pour les points de division et appliquant la formule précédente. La question sera par là ramenée à l’évaluation numérique de la fonction proposée et non plus à spn intégration. ,

Exemplé. — 'Cherchons l’intégrale définie

log x . d-r .

Si nous prenons dix intervalles, la formule donnera / log 1 o -t- 4 log 1 1 -+- 2log 1 2 4- 4 log 1 3

<: -t- 2 loa ■ A -t- Æ lot» 1 5 - 4 -

2 log 14 -I- 4I°S '5 -+- 2 log 16 4 - 2 log 1 8 -I- 4 * 9 log 20

log 1 o 4- log 20

9.(logI2+ log l4 4- Iogl6 -f- log 18) 4 ( log 11 4- log 1 3 4- log 1 5 4- log 17-

•og 19)

1 , 3 o 1 o 3 oo

= ^ J 2,3oio3oo 4 - -2 4/’847o 1 7 4 - 4 ■ 5,8406298 j

= - j 2,3 oio3oo 4- 9,36q4o34 -4- 2.3,3625192

calcul intégral. a65

Pour apprécier le degré d'exactitude de la formule, calculons directement l’intégrale définie. Elle aura pour valeur (89, p. 289) .. . „

[.r (log.r — loge)] j J = 2olog2.o -r 1 o ( ï — t— loge)

= 20. 1 ,3oi o3oo — 10.1,43429448 = 26,0206000 — 14,3429448 = 1 1 ,6776552. ' i

L’erreur absolue est donc en moins

... 11 ,6776552 — 1 1 1 ,6776502 = o,ooooo5. .

Mais Ce n’est pas sa valeur elle-même cju’il faut considérer, car une même différence dans l’évaluation d'une petite ou d’uue grande quantité peut indiquer une méthode défectueuse ou satisfaisante. L’erreur relative ou le rapport de l’erreur absolue à la quantité à évaluer est ici

0,000005 /oc ‘

Ou peut d’après son extrême petitesse se faire une idée du degré d’exactitude de la méthode de Simpson.