VALEURS MOYENNES DES FONCTIONS

218. On appelle moyenne d’un certain nombre de quantités le quotient de leur somme par leur nombre. Pour apprécier la valeur moyenne d’une fonction continue f(x) entre deux limites x et X de la variable, nous partagerons l’amplitude X — a: en un nombre infini n de parties égalés dx, et nous considérerons les valeurs de la fonction •qùi répondent aux points de division. La moyenne sera d’après la définition ■ •' ■

-fj-r +■ dx) ■+- ? dx)-

•+/YX)

Multiplions Jes deux termes de la fraction par dx, elle

deviendra , .

f{±) dx -fy/’fa; -t- dx ) dx i dx) dx -f- /( X) dp :

, * " * i ndx ' " 1 /

Orle numérateur est (207) l’intégrale définie de la fonction entre les limites x-et X; elle dénominateur est l’amplitude X' — x, puisque celle-ci avait été partagée en n parties égales â dx :

; • • • •’ / f(*)dx

CALCUL INTÉGRAI.. ^67

Ainsi la valeur moyenne d’une fonction entre deux limites est le rapport de son intégrale définie à la différence de ces limites. . .

219. Exemple I. — Cherchons, par exemple, la valeur moyenne du sinus dans le premier quadrant. Nous aurons.' à prendre

s in x. dx

: - l — COS — — ■K , O 7

Celte valeur-est o, 6366a. . . et correspond à un angle d’environ 39° 3a' i5". On voit <jue ni l’une ni l’autre ne sont la moyenne arithmétique de leurs limites, avec laquelle il faut bien se garder de confondre la valeur moyenne telle que nous l’avons considérée.

Exemple II. — Désignons par n un nombre positif qu compris entre zéro et — 1 , et cherchons la valeur moyenne de l’expression

•/ = axf . ; . ‘ • ••

entre zéro et une limite quelconque x. Nous aurons

tt V . ux"

Ea moyenne est donc proportionnelle à la valeur limite.

. , • ' c DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES, •

220» Nous avons mis eu usage (198) la méthode de l’in» ' légralion par décomposition pour.obtenir du moins le dés-

a68 LIVRE IV.

veloppement eu série des intégrales, quand on n’en peut pas trouver l’expression finie. On peut appliquer ce principe d’une manière inverse pour développer des fondions connues.

Désignons pàr/"(x) une expression dcfnt le développement, par la formule de Maelaurin, exigerait des calculs compliqués,, tandis que la dérivée f{x) est facile à .réduire en série par un procédé quelconque. Formons ce développement, puis supposons qu’on ait multiplié cette équation par dx et qu’on l’écrive pour les- valeurs x, x dx, - x -t- 2 dx , . . . . En ajoutant ensuite membre à membre, on obtiendra (207) l’égalité des intégrales définies des deux membres prises entre les mêmes limites. *,

C'est là un fait général et on peut toujours intégrer une équation entre deux limites quelconques, pourvu qu’elles soient les mêmes pour les deux membres.

Prenons ici une limite supérieure quelconque x,,uous • ferous reparaître dans le premier membre /"(xJ et le second contiendra la séné qui l’exprime. Prenons aussi, pour plus de simplicité, zéro comme limite inférieure. Quand on substituera cette valeur, la série se réduira à son premier terme, et le premier membre à /,(o). Et cette quantité est finie; sans quoi il n’y aurait pas lieu de chercher à développer/" (x) en" série procédant suivant les puissances entières et .positives. . ^ *