Exemple I. — Considérons la fonction aie tang x
sa dérivée est - — — — et on .peut la éednire en série ch re- I -H,*’ r
courant simplement à la règle de la division algébrique
CALCUL n»TÉ(iI\At.
Intégrant d.e zéro à x
x x 3 ur s x 1 x“
arc tang ,r=
ou retrouve ainsi la formule (20, p. 96).
Exemple II. — Prenons maintenant arc sut .* et déve-
loppons sa dérivée
fi
par la formule du binôme. Nous
avons trouvé ( 23 ,. p. 99)-
Intégrant de' zéro à x
x ix 1 r.3x s - t.3.5r i,3.5,i^
formule qüil serait très-long de déduire de celle de Maclaurin. *
• Si on fait en particulier x == 1 f on, obtient cette valeur du rapport de la circonférence au diamètre - . .
222 . Formule de Taylor. — On peut déduire du Calcul intégral là série générale de Taylor. Remarquons en effet que , la dérivée de f (a — «) relative à ot est — f‘ { a ~ de sorte que l’intégrale sans constante ’de f'[ (, - r r a ) .est — f(a — «). On aura donc, en la prenant entre zéro et une limite X quelconque,
f.(fi —a )r/a=/(W) —/(a — x).
ÎVlais on a <1 autre part , en intégrant par parties, , -*
( f'\ n a)f/a = j — ./ * ( /i qç ) I H f a f"(a — a) //a,
• J f /"(« -«)**■ = ££/" (fl - a) J 4- i £ a’/" (fl - a • r/a,
. y'/'"!" — of) i’r/a= ^■|/"(fl a -f • i J* a»/‘ T (fl — a) r/a, '
Or le premier terme de chaque formule donne, si on suppose que ne soit pas infini,
On aura donc, en substituant dè proche en proche,
en s'arrêtant an (a — i)"'"' terme. Si maintenant.on change a en a -f- x , il viendra . ,
■ jf(x 4- fl).=/(fl) 4- -/' (fl) 4- ^/ ff (fl) 4- 4^3 /"(fl)
■' 4- — *’ ? /’ T (rt) 4- ■ • ■ 4 ~r — ' T/ ( -' r M '
CALCUL IKTÉGBAL.
On retrouve ainsi le développement de Taylor, mais avec cet avantage qu'on peut l’arrêter à un terme quelconque et obtenir la valeur exacte du reste de la série dans l’intégrale définie
/("> (a? a — a) a" -1 da.
La formule de Maclaurin se déduit de celle de Taylor en faisant a = o. On aura donc pour le reste de cette série .
■ — *)Jo
223. On peut donner au reste une autre forme. Remarquons en effet que l’intégrale définie est la somme des éléments a” -1 da multipliés chacun par la valeur correspondante de / >( " ) (x -+- a — a).On peut concevoir une certaine valeur intermédiaire de fW (x-t-<i — a) qui donnerait le même résultat si on la prenait comme facteur de tous les éléments a" - ' da ou de leur somme
Quant à cette valeur, si on suppose la fonction / f ") continue dans les limites o et x de sa variable, ce sera certainement une de celles qu’elle prend dans cet intervalle; elle correspond donc à une valeur de « comprise entre les limites o et x, et par suite à une de x — a également comprise entre o et x et qu’on peut représenter par 6x; 0 désignant un nombre, inconnu d’ailleurs, mais inférieur à l’unité. On aura ainsi pour l’expression du reste
27 a livre rv.
de lu formule de Taylor quand on s’arrête au n“”" ternit!
et pour relui de la formule de Maclaurin
Exemple I. — On a trouvé (44)
par suite, d’après le reste de la série de Maclaurin^
fix
1.2.3. . .(n — i) i.2.3 . : rr Exemple II. — On a aussi trouvé (44)
/(*) = Lx, ../(-! (X) = (-.>-. 1? - 3 . vI” - T . 1 / ; .
par suite, d’après le reste de la série de Taylor,
Z,(H-x) ~ 7-7+3-- J- '- - 7 ZT 7 n\l-hOx)\
SÉRIES TRIGONOM ÉTRIQUÉS.
224. On emploie souvent dans l’analyse des séries qui ne procèdent pas suivant les puissances de' la variable. L’une des formes les plus usitées est ordonnée par rapport
' . ' .v CALWJX-' fNTÉGRAL. 2j3-
aux sinus et cosinus dès multiples dé X (’),
/(■*) — A + B, sin x + B 2 sin 22 : -t- B, sîn 3x + . - *• •
- ' -h C, cosx -+- CjCôs 2 x -+- C 3 cos3 x -p,. , ' . •* . .
' On eu peut détenqsiner d’une manière générale les coefficients. . - •; ' -,
Pour obtenir le terme indépendant, multiplions par dx et intégrons entré les limites — tr et -Kir. Il vient par là *
.J f(*)dx=: A J ' dx ; . . . ’ .. •• . '*
' nd-v z»-Mr . . ' .
-4- 8 * / . sin mx . dx 4 - % Cm I cos mx.dx,
ou, 'diaprés les formules (g 4 > p- a5a) t ’ • • /• ;
